đây là toán  6 á lớp 6 mà học giai thừa ak

`1/4+1/16+1/36+...+1/196`

`= 1/(2^2)+1/(4^2)+1/(6^2)+....+1/(4^2)`

`= 1/(2^2)*( 1/ + 1/( 2^2 ) + 1/(3^2)+.....+1/(7^2))`

Ta có : `1/(2^2)<1/(1*2)=1-1/2`

`1/(3^2)<1/(2*3)=1/2-1/3`

`.....`

`1/(7^2)<1/(6*7)=1/6-1/7`

Do `1/( 2^2 ) + 1/(3^2)+.....+1/(7^2)<1-1/2+1/2-1/3+.....+1/6-1/7=1-1/7<1`

`=> 1/ + 1/( 2^2 ) + 1/(3^2)+.....+1/(7^2)<2`

`=>  1/(2^2)*( 1/ + 1/( 2^2 ) + 1/(3^2)+.....+1/(7^2))<1/2`

`=>1/4+1/16+1/36+...+1/196<1/2`

Vậy `1/4+1/16+1/36+....+1/196<1/2` 

Bạn tự vẽ hình nhé

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có B=30^o

Trên tia đối của tia AClấy điểm D sao cho AD=AC.

Xét tan giácABD và tam giác ABC có:

△ABC vuông tại A

△ABD vuông tại A

AB là cạnh chung.

AD=AC

Nên △ABC=△ABD (2 cạnh góc vuông)

=>góc ABD=góc ABC=30^o=>BDC=60^o

=>BD=BC=>△BDC cân tại B

mà góc BDC=60^o=>△BDC đều

=>DC=BC

Mà AC=\(\dfrac{1}{2}\)DC=>AC=\(\dfrac{1}{2}\)BC

*Cách khác: 

Gọi M là trung điểm của BC

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(BM=CM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=BM=CM

Xét ΔMAB có MA=MB(cmt)

nên ΔMAB cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔMAB cân tại M có \(\widehat{B}=60^0\)(gt)

nên ΔMAB đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Suy ra: AB=AM

mà \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(cmt)

nên \(AB=\dfrac{BC}{2}\)(đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Hình bạn tự vẽ nhé, mik kí hiệu \(\Lambda\):là góc

a Ta có \(\Lambda\)ADB là góc chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ADB=90⁰. Mà \(\Lambda\)AFE=90⁰

⇒\(\Lambda\)ADB=\(\Lambda\)AFE=90⁰ Lại có \(\Lambda\)FAE=\(\Lambda\)DAB ⇒ΔADB\(\sim\)ΔAFE(g.g)

⇒\(\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AB}{AE}\) \(\Rightarrow AE\cdot AD=AF\cdot AB\)

b Ta có \(\Lambda\)ACB là góc chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ACB=90⁰ . Mà \(\Lambda\)EFB=90⁰ \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ACB=\(\Lambda\)EFB .Lại có \(\Lambda\)ABC=\(\Lambda\)EBF \(\Rightarrow\Delta\)ACB\(\sim\Delta\)EFB(g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{FB}=\dfrac{AB}{EB}\) \(\Rightarrow BC\cdot EB=AC\cdot FB\) \(\Rightarrow BE\cdot BC=AB\cdot BF\)(1)

​Từ câu a ta có \(AE\cdot AD=AB\cdot AF\left(2\right)\)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

\(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB\cdot AF+AB\cdot BF=AB\cdot\left(AF+BF\right)=AB^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)Vì AB là đường kính​​

Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

1.

\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

2.

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)