Question

Cho đường tròn (O:R) đường kính AB . Hai dây AD và BC cắt nhau tại E trong (O) . Kẻ EF⊥AB tại F . Chứng minh

1) AE.AD = AF.AB

2) AE.AD +BE . BC = 4R²

Answer 1

Hình bạn tự vẽ nhé, mik kí hiệu \(\Lambda\):là góc

a Ta có \(\Lambda\)ADB là góc chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ADB=90⁰. Mà \(\Lambda\)AFE=90⁰

⇒\(\Lambda\)ADB=\(\Lambda\)AFE=90⁰ Lại có \(\Lambda\)FAE=\(\Lambda\)DAB ⇒ΔADB\(\sim\)ΔAFE(g.g)

⇒\(\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AB}{AE}\) \(\Rightarrow AE\cdot AD=AF\cdot AB\)

b Ta có \(\Lambda\)ACB là góc chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ACB=90⁰ . Mà \(\Lambda\)EFB=90⁰ \(\Rightarrow\) \(\Lambda\)ACB=\(\Lambda\)EFB .Lại có \(\Lambda\)ABC=\(\Lambda\)EBF \(\Rightarrow\Delta\)ACB\(\sim\Delta\)EFB(g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{FB}=\dfrac{AB}{EB}\) \(\Rightarrow BC\cdot EB=AC\cdot FB\) \(\Rightarrow BE\cdot BC=AB\cdot BF\)(1)

​Từ câu a ta có \(AE\cdot AD=AB\cdot AF\left(2\right)\)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

\(AE\cdot AD+BE\cdot BC=AB\cdot AF+AB\cdot BF=AB\cdot\left(AF+BF\right)=AB^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)Vì AB là đường kính​​