Xét 

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc\le1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) và các hoán vị.

o lờ mờ dấu "=" xảy ra khi a=b=0;c=1 và các hoán vị hoặc a=b=1;c=0 và các hoán vị 

\(A=a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0 hoặc a=b=c=1 

24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13

Em tham khảo ở đây:

xét các số thực a,b,c (a≠0) sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm m, n thỏa mãn \(0\le m\le1;0\le m\le1\). tìm GTN... - Hoc24

Max thì đơn giản thôi em:

Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)

\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)

\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)

\(\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)

\(=\left[\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\right]+\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+18\)

\(\ge2+8+18=28\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}=\frac{3}{4}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{4abc}\)

\(=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\ge\frac{9}{ab+ac+bc}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\ge\frac{9}{4}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\right)-\frac{3}{2}\left(1\right)\)

Lại có:\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\frac{1}{30}+\frac{1}{15}\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)\left(2\right)\).Từ (1);(2) có:

\(P=\frac{1}{30}-\frac{3}{2}+\frac{1}{5}\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{1}{15}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-22\right)\ge-\frac{4}{3}\)

đề thi hsg toán lớp 9 tỉnh thanh hóa năm 2016-2017 mà