Cho số thực dương a, b, c, thỏa mãn a+b+c=3. CMR:
\(\frac{a^2b+a^2}{ab+a+b}\)+\(\frac{b^2c+b^2}{bc+b+c}+\frac{c^2a+c^2}{ac+c+a}\)
Những câu hỏi liên quan
cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac=abc
CMR: \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}>\sqrt{3}\)
Hình như đề bài có vấn đề : thừa đk ab + bc + ac = abc
ta có : \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{\sqrt{4a^2b^2}}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2\)
Tương tự \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge2\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge2+2+2=6>\sqrt{3}\)
Đúng 0
Bình luận (4)
Nếu thay dấu > thành >= thì ta có cách giải khác
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2. CMR:
\(\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}\le1\)
\(VT=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sum\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{bc+ca}{a+b}\right]=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
11 tháng 1 2021 lúc 14:43
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=ab+bc+ca\)
CMR: \(\frac{2a-1}{a^2-a+1}+\frac{2b-1}{b^2-b+1}+\frac{2c-1}{c^2-c+1}=\frac{3}{\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)\left(c+a-1\right)}\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:
\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\ge abc\)
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq 1(*)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq \frac{9}{bc(2a^2+bc)+ac(2b^2+ac)+ab(2c^2+ab)}=\frac{9}{(ab+bc+ac)^2}=\frac{9}{3^2}=1$
Do đó BĐT $(*)$ đúng. Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. CMR:
\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 CMR : \(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ac}\ge0\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\ge9\)
cho các số thực dương a,b ,c thỏa mãn ab+ac+bc=abc.tìm gtnn của
P = \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\)
cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 CMR : \(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ac}\ge0\)
\(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)-\left(\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)+\left(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\right)\ge3\)
Đến đây chia làm 2 bài toán :D
\(\frac{a}{1+ab}=a-\frac{a^2b}{1+ab}\ge a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)
\(\ge a+b+c-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Cộng 2 cái lại có ngay đpcm