Xét $\Delta MNH$ và $\Delta P$ ta có:

$\large \widehat{MHN}=\widehat{MPT}=90^o$ 

$\large \widehat{MNP}=\widehat{MTP}$(Hai góc cùng chắn cung $MP$)

Do đó $\large \Delta MNH \sim \Delta MTP$ $(g-g)$

Từ đó: $\frac{MN}{MT}=\frac{MH}{MP}\Leftrightarrow MN.MP=MH.MT$

Xét tứ giác $NQKP$ ta có: 

$\large \widehat{NQP}=\widehat{PKN}=90^o$

Mà hai góc này cùng chắn cung $NP$ 

Do đó tứ giác $NQKP$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra: $\large \widehat{PKQ}+\widehat{PNQ}=180^o$ (Hai góc nội tiếp đối nhau)

Đồng thời ta có $\large \widehat{PKQ}+\widehat{MKQ}=180^o\Rightarrow \widehat{MNP}=\widehat{MTP}=\widehat{MKQ}$

Gọi $A$ là giao điểm của $QK$ và $MT$

Xét tứ giác $TPKA$ ta có:

$\large \widehat{MTP}+\widehat{PKQ}=\widehat{PKQ}+\widehat{MKQ}=180^o$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $TPAK$ là tứ giác nội tiếp 

$\large \Leftrightarrow \widehat{MPT}+\widehat{TAK}=180^o\Leftrightarrow \widehat{TAK}=180^o-\widehat{MPT}=90^o$

Do đó $MT$ vuông góc với $QK$

Hình: 

a, Áp dụng Đ. L. py-ta-go vào tg ABC cân tại A, có:

BC²=AC²+AB²

=>15²=AC²+9²

     225=AC²+81

=>AC=225-81

         =144.

=>AC=12cm.

b, Xét tg ABM và tg NCM, có: 

MB=MC(M là trung điển của BC)

góc AMB= góc CMN(đối đỉnh)

AM=NM(gt)

=>tg ABM= tg NCM(c. g. c)

=>góc ABM= góc NCM(2 góc tương ứng)

c, Ta có: góc BAC+ góc DAC=180^o

                 =>góc DAC= 180^o- góc BAC 

                                   =180^o-90^o

                                   =90^o

Xét tg ACB và tg ACD, có: 

AB=AD(A là trung điểm của BC)

góc BAC = góc DAC(=90^o)

AC chung

=>tg ABC= tg ADC(2 cạnh góc vuông)

=>BC=DC(2 cạnh tương ứng)

=>tg CBD cân tại C(đpcm)

thiếu đề  bn ơi

thiếu đề

Mình đã chỉnh sửa lại r 

a: Xét ΔIMB vuông tại M và ΔIKC vuông tại K có

góc MIB=góc KIC

=>ΔIMB đồng dạng vơi ΔIKC

=>IM/IK=IB/IC

=>IM*IC=IB*IK

b: Xét ΔIMA vuông tạiM và ΔIEC vuông tại E có

góc MIA=góc EIC

=>ΔIMA đồng dạng với ΔIEC

=>IM/IE=IA/IC

=>IM*IC=IA*IE

c: Xét ΔAKI vuông tại K và ΔAEC vuông tại E có

góc KAI chung

=>ΔAKI đồng dạng với ΔAEC

=>AK/AE=AI/AC

=>AK*AC=AE*AI

d: Xet ΔAKB vuông tại K và ΔAMC vuông tại M có

góc KAB chung

=>ΔAKB đồng dạng với ΔAMC

=>AK/AM=AB/AC

=>AK*AC=AM*AB

a: NP=căn 3^2+4^2=5cm

b: Xét ΔNMK vuông tại M và ΔNHK vuông tại H có

NK chung

góc MNK=góc HNK

=>ΔNMK=ΔNHK

c: Xét ΔKMI vuông tại M và ΔKHP vuông tại H có

KM=KH

góc MKI=góc HKP

=>ΔKMI=ΔKHP

=>KI=KP

=>KP>MI

tự vẽ hình nha

a) xét tam giác MEN và tam giác MFP có:

\(\widehat{MFP}=\widehat{MEN}\left(=90'\right)\)

\(chung\widehat{NMP}\)

suy ra tam giác MEN đồng dạng với tam giác MFP (g-g)

do tam giác MEN đồng dạng với tam giác MFP

\(\Rightarrow\frac{ME}{MF}=\frac{MN}{MP}\)

lại có \(\widehat{NMP}\) chung

suy ra tam giác MFE đồng dạng với tam giác MPN

\(\Rightarrow\widehat{MEF}=\widehat{MNP}\)

cám ơn Guiltykamikk

còn nx ?

b: Xét tứ giác MNDP có 

A là trung điểm của NP

A là trung điểm của MD

Do đó: MNDP là hình bình hành

Suy ra: MN//PD

cho tam giác MNP có 3 góc nhọn (MN<MP), A là trung điểm của cạnh NP. trên tia MA lấy D sao cho MA=AD.

a) chứng minh rằng tam giác mna= tam giác DPA.

b) chứng minh MN//PD.

c) chứng minh MP=ND.