a)   Xét  \(\Delta AHB\) và     \(\Delta CHA\)  có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)     do cùng phụ với góc  HAC

suy ra:   \(\Delta AHB~\Delta CHA\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=HB.CH\)

Quỳnh Giang cảm ơn bạn ;))

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có 

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCHA

b: BM/AN=HB/HA

mà HB/HA=AB/CA

nên BM/AN=AB/CA

Xét ΔABM và ΔCAN có

BM/AN=AB/CA

\(\widehat{ABM}=\widehat{CAN}\)

Do đó: ΔABM\(\sim\)ΔCAN

                               Bài giải

a) Xét tam giác ABH và CAH có:

  \(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^o-\widehat{ABC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABH\infty\Delta CAH\left(g.g\right)\)

 \(\Delta ABH\infty\Delta CAH\left(g.g\right)\) (câu a)  \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{BH\text{ : }2}{AH\text{ : 2}}=\dfrac{BP}{AQ}\)

Xét \(\Delta ABP \text{và }\Delta CAQ\) có: $\frac{BP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$

                                        \(\widehat{CAH}=\widehat{ABH}\left(=90^o-\widehat{BAH}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABP\infty\Delta CAQ\left(c.g.c\right)\)

b, Ta có: PQ là đg trung bình của\(\Delta ABH\Rightarrow\text{ }PQ\text{ // }AB\text{ }\Rightarrow\text{ }PQ\perp AC\)  

Mà AH$\perp$PC  => Q là trực tâm của \(\Delta APC\)

\(\Rightarrow\text{ }AP\perp CQ\)

a: Ta có: H và M đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của HM

Suy ra: AH=AM(1)

Ta có:  H và N đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của HN

Suy ra: AN=AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN=AM

Khong du dk cm

Sao ý A nhiều ng bảo ko làm đc nhỉ??? 

Ta chỉ cần dùng tính chất bắc cầu là ra mà

c) Do MN song song với AB nên MN vuông góc với AC

Tam giác AMC có 2 đường cao AH, MN suy ra N là trực tâm. Do đó CN vuông góc với AM.