Cho Tam giác ABD Vuông tại D . Nội tiếp đường tròn O dựng hình bình hành ABCD . Vẽ DH Vuông Góc AC , gọi K là giao điểm của AC với đường tròn O .
CM : Tứ giác HBCD nội tiếp
Góc DOK = 2 Góc BDH
CK.CA =2.BD2
Cho tam giác ADB vuông cân tại D (DA=DB) nội tiếp đường tròn tâm (O). Dựng hình bình hành ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC; K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác HBCD nội tiếp
b) Góc DOK = 2* góc BDH
c) CK*CA=2*BD2
cho ΔABD vuông cân tại D và nội tiếp đtròn O. Dựng hình bình hành ABCD; gọi h là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC, K là giao điểm của AC với đtròn O. Cmr:
a/ tứ giác HBCD nội tiếp
b/ DOK=2.BDH
c/ CK.CA=2.BD2
a: góc DHC=góc DBC=90 độ
=>DHBC nội tiếp
b: góc BDH=góc BCH=góc KAD=góc DOK/2
=>góc DOK=2*góc BDH
Cho tam giác vuông cân ADB(DA=DB) nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng hình bình hành ABCD gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC, K là giao điểm của AC với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng;
1. Góc DOK= 2 góc BDH
2. CK.CA=2.BD^2
Giúp mình nha nha
<3 <3
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy điểm D. Kẻ DE vuông góc với BC, DF vuông góc với ÁC
a) CMR: Tứ giác DFEC nội tiếp được đường tròn
b) Gọi G là giao điểm của AB và EF. CMR : Góc FED = Góc ABD và tam giác BDG vuông
c) Gọi I là trung điểm của EF, H là trung điểm của AB. CMR: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác FED và IH vuông góc với DI
a) Xét tứ giác DFEC có
\(\widehat{DFC}=\widehat{DEC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{DFC}\) và \(\widehat{DEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh DE
Do đó: DFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho tam giác ABC vuông tại B .Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Đường tròn này cắt AC tại D
a)Chứng minh góc ABD=góc ODC
b)Cm AB^2=AD.AC
c) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh tứ giác BIDO là tứ giác nội tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD của đường tròn(O)
a) CM tứ giác ABHM,AHNC nội tiếp
b) CM tam giác HMN đồng dạng tam giác ABC
c) Chứng minh HM vuông góc với AC
d) Gọi I là tủng điểm của BC. CM I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN
Bài 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, Cl à trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN
a) CM tứ giác BCHK nội tiếp
b) Chứng minh tam giác MBN đều
c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM+KN+KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R
Cho ∆nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O) gọi M là giao điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) CM không trùng với BC kẻ MH vuông góc với đường thẳng AB tại H MK vuông góc với đường thẳng AC tại K a.chứng minh tứ giác AHMK nội tiếp b.chứng minh MH.MC=MK.MB
a: góc AHM+góc AKM=90+90=180 độ
=>AHMK là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔMBH vuông tại H và ΔMCK vuông tại K có
góc MBH=góc MCK
=>ΔMBH đồng dạng với ΔMCK
=>MB/MC=MH/MK
=>MB*MK=MC*MH
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD ( H ∈ A B ; K ∈ A D ).
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: S ' S ≤ H K 2 4. A I 2
a) Tứ giác AHIK có:
A H I ^ = 90 0 ( I H ⊥ A B ) A K I ^ = 90 0 ( I K ⊥ A D ) ⇒ A H I ^ + A K I ^ = 180 0
=> Tứ giác AHIK nội tiếp.
b) ∆ IAD và ∆ IBC có:
A ^ 1 = B ^ 1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))
A I D ^ = B I C ^ (2 góc đối đỉnh)
=> ∆ IAD ~ ∆ IBC (g.g)
⇒ I A I B = I D I C ⇒ I A . I C = I B . I D
c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có K ^ 1 = D ^ 1
A ^ 1 = H ^ 1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)
mà A ^ 1 = B ^ 1 ⇒ H ^ 1 = B ^ 1
Chứng minh tương tự, ta được K ^ 1 = D ^ 1
∆ HIK và ∆ BCD có: H ^ 1 = B ^ 1 ; K ^ 1 = D ^ 1
=> ∆ HIK ~ ∆ BCD (g.g)
d) Gọi S1 là diện tích của ∆ BCD.
Vì ∆ HIK ~ ∆ BCD nên:
S ' S 1 = H K 2 B D 2 = H K 2 ( I B + I D ) 2 ≤ H K 2 4 I B . I D = H K 2 4 I A . I C (1)
Vẽ A E ⊥ B D , C F ⊥ B D ⇒ A E / / C F ⇒ C F A E = I C I A
∆ ABD và ∆ BCD có chung cạnh đáy BD nên:
S 1 S = C F A E ⇒ S 1 S = I C I A (2)
Từ (1) và (2) suy ra
S ' S 1 ⋅ S 1 S ≤ H K 2 4 I A . I C ⋅ I C I A ⇔ S ' S ≤ H K 2 4 I A 2 (đpcm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D∈BC, E∈AC).
a) Tứ giác ABDE nội tiếp
b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). CM tứ giác BHCK là hình bình hành.
c) Gọi F là giao điểm của tia CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=\(\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{CF}{HF}\).
a) Ta có: \(\angle AEB=\angle ADB=90\Rightarrow ABDE\) nội tiếp
b) Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ACK=\angle ABK=90\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK\bot AC\\BK\bot AB\end{matrix}\right.\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\bot AC\\CH\bot AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(BH\parallel CK,CH\parallel BK\)
\(\Rightarrow BHCK\) là hình bình hành
c) Vì F là giao điểm của CH và AB \(\Rightarrow CF\bot AB\)
Ta có: \(\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{AD.BC}{HD.BC}+\dfrac{BE.AC}{HE.AC}+\dfrac{CF.AB}{HF.AB}\)
\(=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHB}}=S_{ABC}\left(\dfrac{1}{S_{HBC}}+\dfrac{1}{S_{AHC}}+\dfrac{1}{S_{AHB}}\right)\)
\(\ge S_{ABC}.\dfrac{9}{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{AHB}}\)(BĐT Schwarz) \(=S_{ABC}.\dfrac{9}{S_{ABC}}=9\)
\(\Rightarrow Q_{min}=9\)