\(P=\sum\sqrt[3]{3a+1}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\sum\sqrt[3]{2\cdot2\cdot\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}\sum\left(3a+5\right)=3\sqrt[3]{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}.\)

Nãy em sai nha chứ không phải đề sai:vv Buồn ngủ đọc không kỹ đề:vv

Bài 1.1.8 Khá hay và dễ.

Ta chứng minh: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)^2\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

\(VT=\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left[1+\left(a\cdot b\cdot b\right)\right]^3=\left(1+ab^2\right)^3\)

Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại và nhân theo vế ta thu được đpcm.

Dấu đẳng thức xin dành cho bạn đọc.

Ps:  BTV thì BTV, thấy bài là em giải nha:v

Bài 183:

Ta cần chứng minh : \(\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab\left(a^3+b^3\right)+bc\left(b^3+c^3\right)+ca\left(c^3+a^3\right)\ge2abc\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+c^4a+ca^4\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương a,b,c có:

\(a^4b+bc^4\ge2a^2bc^2,ab^4+ac^4\ge2ab^2c^2,b^4c+ca^4\ge2a^2b^2c\)

\(\Rightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+ca^4+c^4a\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

`\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=6-18x`

`<=>\sqrt{4x^2+5x+1}-\sqrt{4x^2-4x+4}=6-18x`

`<=>(9x-3)/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6(3x-1)=0`

`<=>(3x-1)(3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6)=0`

Ta thấy `3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6>0`

`=>3x-1=0`

`=>3x=1`

`=>x=1/3`

Vậy `S={1/3}`

`1/(x^2+9x+20)=1/15-1/(x^2+5x+4)(x ne -1,-4,-5)`

`=>1/((x+4)(x+5))=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>1/(x+4)-1/(x+5)=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-3/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-1/(x+1)+1/(x+4)`

`=>2/(x+4)-3/(x+5)+1/(x+1)=3/15`

`=>30(x+1)(x+5)-45(x+1)(x+4)+15(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+4)(x+5)`

`=>30(x^2+6x+5)-45(x^2+5x+4)+15(x^2+9x+20)=3(x^2+5x+4)(x+5)`

`<=>90x+270=3(x^3+8x^2+29x+20)`

`<=>x^3+24x^2-3x-210=0`

`=>x=-23\or\x=2,85\or\x=-3`

`A=(10^50+2)/(10^50-1)`

`=1+3/(10^50-1)`

Tương tự:

`B=1+3/(10^50-3)`

`10^50-1>10^50-3>0`

`=>3/(10^50-1)<3/(10^50-3)`

`=>A<B`

`20.2^x+1=10.4^2+1`

`=>20.2^x=10.4^2`

`=>2^x=4^2/2=2^3`

`=>x=3`

Vậy x=3

C180 : 

    20 . 2^x + 1 = 10 . 4² + 1

\(\Leftrightarrow\) 2 . 2^x = 4²

\(\Leftrightarrow\) 2^{x + 1} = 2⁴

\(\Leftrightarrow\) x + 1 = 4

\(\Leftrightarrow\) x = 3

Vậy x = 3

179:

CM bđt phụ \(a>b;a,b,m\in N\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\Rightarrow a\left(b-m\right)< b\left(a-m\right)\Leftrightarrow ab-am< ab-bm\Leftrightarrow-am< -bm\Leftrightarrow a>b\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\)

Áp dụng bđt phụ  \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\) với a>b,a,b,m\(\in N\) có:

\(\Rightarrow A=\dfrac{10^{50}+2}{10^{50}-1}< \dfrac{10^{50}+2-2}{10^{50}-1-2}=\dfrac{10^{50}}{10^{50}-3}=B\)

 \(\Rightarrow A< B\)

Còn tưởng giải bài tập cơ XD

Eo AD có tâm quá điii..

2.

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

Câu cuối:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)

7:

a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta có \(x+y=2\).

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).

Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).

Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).

Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).

BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.