pt(1) có nghiệm là 2 khoảng (-2;-1) và (1;2)

pt(2) có 2 nghiệm phân biệt là x=a+1 hay x=a-2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì:

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< -2\\-2\le a+1\le-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le a-2\le-1\\a+1>-1\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-2< 1\\1\le a+1\le2\end{matrix}\right.\)

+ \(\left\{{}\begin{matrix}1\le a-2\le2\\a+1>2\end{matrix}\right.\)

Hợp nghiệm các trường hợp trên ta được:

\(-3\le a\le-2\) hay \(0\le a\le1\)hay \(3\le a\le4\)

\(2ab+by=12\)

\(ax-2by=-6\)

Thay \(x=-2;y=1\)

\(2ab+by=12=2ab+b\left(1\right)\)

\(ax-2by=-6=-2a-2b=-6\Rightarrow2a+2b=6\Rightarrow a+b=3\Rightarrow a=3-b\)

Thay \(a=3-b\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2\left(3-b\right)+b=12\)

\(\Leftrightarrow6-2b+b=12\)

\(\Leftrightarrow6-b=12\)

\(\Rightarrow b=-6\)

\(\Rightarrow a=3-b=3-\left(-6\right)\)

\(\Rightarrow a=9\)

Vậy \(a=9;b=-6\)

Hệ có nghiệm khi và khỉ khi \(m\ge\min\limits_{x^2+y^2=1}\left(x+y\sqrt{3}\right)\)

Ta có: \(\left(x.1+y.\sqrt{3}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+3\right)=4\)

\(\Rightarrow-2\le x+y\sqrt{3}\le2\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge-2\)

Xét \(x^2+2x+a=0\) (1) và \(x^2-4x-6a=0\) (2)

Do hệ số của \(x^2\) đều dương nên BPT đã cho có nghiệm khi (1) và (2) đều có nghiệm

Gọi các nghiệm của (1) và (2) lần lượt là \(x_1\le x_2;x_3\le x_4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1-\sqrt{1-a}\\x_2=-1+\sqrt{1-a}\\x_3=2-\sqrt{6a+4}\\x_4=2+\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=1-a\ge0\\\Delta'_2=4+6a\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{3}\le a\le1\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=0\\x_3\le x_{1;2}\le x_4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=1\) thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_2=0\\x_1\le x_{3;4}\le x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}\) thỏa mãn

TH3: khi \(-\dfrac{2}{3}< a< 1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) và (2) đều có 2 nghiệm pb

Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}D_1=\left[x_1;x_2\right]\\D_2=\left[x_3;x_4\right]\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(D_1\) và \(D_2\) giao nhau tại đúng 1 phần tử

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-\sqrt{1-a}=2+\sqrt{6a+4}\left(vô-nghiệm\right)\\-1+\sqrt{1-a}=2-\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=0\)

Vậy \(a=\left\{-\dfrac{2}{3};0;1\right\}\)

Còn lại tương tự

Bài 3:

a: =>x-2y=1 và x-2y=1

=>0x=0 và x-2y=1

=>Hệ Phương trình có nghiệm tổng quát là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{x-1}{2}\end{matrix}\right.\)

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-6y=2\\x-6y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{x-2}{6}\end{matrix}\right.\)

\(m< \dfrac{4}{3}\)

Xét \(\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{x-2}{x-1}< 0\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+1}{x\left(x-1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow0< x< 1\)

Xét \(3x^2-4x+m< 0\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow m< -3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow m< \max\limits_{\left(0;1\right)}\left(-3x^2+4x\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=-3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(a=-3< 0\); \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{3}\in\left(0;1\right)\)  \(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{4}{3}\)

a) Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+4y=10-0\\x+0y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận trường hợp này).

Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\-mx-m^2y=-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4-m^2\right)y=10-5m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Biện luận:

Với \(m=2\) \(\left(1\right)\Rightarrow0y=0\) (phương trình vô số nghiệm),

Với \(m=-2\Rightarrow0y=20\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(m\ne\pm2\Rightarrow y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}=\dfrac{5\left(2-m\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\dfrac{5}{m+2}\)

Vì \(y>0\Rightarrow\dfrac{5}{m+2}>0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2\)

Thay \(y=\dfrac{5}{m+2}\) vào (2) ta được:

\(x+\dfrac{5m}{m+2}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{8-m}{m+2}\)

Vì x>0 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}8-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow-2< m< 8\)

Vì m là số nguyên và \(m\ne2\) nên \(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho \(x>0,y>0\).

b) Với \(m=0\) ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4;\dfrac{5}{2}\right)\) (loại).

Với \(m=2\). Ta có hệ vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì y là số nguyên dương nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\2-\dfrac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\x< 4\end{matrix}\right.\). Mặt khác x>0.

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
Với \(m\ne\pm2\). Ta có \(y=\dfrac{5}{m+2}\).

Vì x,y là các số nguyên dương nên x,y>0. Nên:

\(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) (1')

Mặt khác: \(5⋮\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow m+2\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\) (2')

Từ (1') ,(2') \(\Rightarrow m\in\left\{-1;3\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{-1;2;3\right\}\) thì hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với x,y là số nguyên dương.