2, Cho \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x}khix\ge4\\x+akhix< 4\end{matrix}\right.\)
Tìm a để hàm số tồn tại giới hạn tại x=4
Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}khix< 0\\a+\dfrac{4-x}{x+2}khi\ge0\end{matrix}\right.\)tại x0 = 0
Lời giải:
Để hàm số trên liên tục tại $x_0=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}(a+\frac{4-x}{x+2})=\lim\limits_{x\to 0-}(\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x})=a+2\)
\(\Leftrightarrow a+2=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}\)
Mà \(\lim\limits_{x\to 0-}\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}=-\infty \) nên không tồn tại $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=0$
2. Gía trị của a để các hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x+2a\left(khix< 0\right)\\x^2+x+1\left(khix\ge0\right)\end{matrix}\right.\)liên tục tại x=0
3. Chứng minh phương trình \(x^4-x-2=0\) luôn có nghiệm thuộc khoảng (1;2)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)
Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)
\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{e^{4-3x}-e^4}{x}khix\ne0\\3ae^4khix=0\end{matrix}\right.\) . Giá trị của a để f(x) liên tục tại x = 0 là
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{4-3x}-e^4}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^4\left(e^{-3x}-1\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}-3e^4\left(\dfrac{e^{-3x}-1}{-3x}\right)=-3e^4\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi \(3ae^4=-3e^4\Rightarrow a=-1\)
\(\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{^3\sqrt{ax+1}-\sqrt{1-bx}}{x}\left(1\right)\\3a-5b-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)khix\ne0\)
(2) \(khix=0\)
Tìm điều kiện của tham số a và b để hàm số trên liên tục tại điểm x=0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:
\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)
Tìm m để các hàm số f(x) = \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{2x}khix>0\\2x^2+3mx+1khix\le0\end{matrix}\right.\) liên tục tại x=0
Lời giải:
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.
tìm m để hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x+7}-\sqrt{x+3}-5}{x-1}\Leftrightarrow x>1\\2x+m\Leftrightarrow x\le1\end{matrix}\right.\) có giới hạn tại \(x_0=1\)
\(\dfrac{\sqrt{2x+7}-\sqrt{x+3}-5}{x-1}\) hay \(\dfrac{\sqrt{2x+7}+\sqrt{x+3}-5}{x-1}\)
a. Có bao nhiêu giá trị của a để \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x+1\right)=a^2\)
b. Tìm a để hàm số f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^3+1}{x+1}khix\ne-1\\3akhix=-1\end{matrix}\right.\)gián đoạn tại điểm \(x_0=-1\)
c. Cho tứ diện đều ABCD .Góc giữa 2 vecto DA và BD bằng?
d. Cho hàm số y = f(x) = \(\dfrac{x^2-1}{2-2x}\)khi \(x\ne1\) .Để hàm số liên tục tại x=1 thì f(1) phải nhận giá trị nào dưới đây? (giải tự luận giúp em ạ)
A.-1 B.1 C.2 D.0
e. Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^3+2x-1\) .Xét phương trình f(x) = 0 (1), trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai? giải tự luận giúp em ạ
A. (1) có nghiệm rên khoảng (-1;1)
B. (1) Không có nghiệm trên khoảng (-5;3)
C. (1) có nghiệm trên R
D. (1) có nghiệm trên khoảng (0;1)
a.
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x+1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{\left(\sqrt{x^2-ax+2021}-x\right)\left(\sqrt{x^2-ax+2021}+x\right)}{\sqrt{x^2-ax+2021}+x}+1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{-ax+2021}{\sqrt{x^2-ax+2021}+x}+1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x\left(-a+\dfrac{2021}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{2021}{x^2}}+1\right)}+1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{-a+\dfrac{2021}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{2021}{x^2}}+1}+1\right)\)
\(=\dfrac{-a+0}{\sqrt{1+0+0}+1}+1=-\dfrac{a}{2}+1\)
\(\Rightarrow a^2=-\dfrac{a}{2}+1\Rightarrow2a^2+a-2=0\)
Pt trên có 2 nghiệm pb nên có 2 giá trị a thỏa mãn
b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^3+1}{x+1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\left(x^2-x+1\right)\)
\(=1+1+1=3\)
\(f\left(-1\right)=3a\)
Hàm gián đoạn tại điểm \(x_0=-1\) khi:
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)\ne f\left(-1\right)\Rightarrow3\ne3a\)
\(\Rightarrow a\ne1\)
c.
Tứ diện ABCD đều \(\Rightarrow\Delta ABD\) đều
\(\widehat{\left(\overrightarrow{DA};BD\right)}=180^0-\widehat{\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB}\right)}=180^0-\widehat{ADB}=180^0-60^0=120^0\)
d.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2-1}{2-2x}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{-2\left(x-1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{1+1}{-2}=-1\)
Để hàm liên tục tại \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=-1\)
e.
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\) ; \(f\left(1\right)=2>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\)
Do \(\left(0;1\right)\) đồng thời là tập con của \(\left(-1;1\right)\) ; \(\left(-5;3\right)\) và R nên \(f\left(x\right)\) cũng có nghiệm trên các khoảng này
Vậy B là đáp án sai
Câu 3. Tìm giá trị của m để hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x-1}}{x-1}khix\ne1\\x\left(3-2m\right)\sqrt{m-1}-3m+\frac{3}{4}khim=1\end{matrix}\right.\)tại x=1
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x-1}}{x-1}=+\infty\) (đây ko phải giới hạn dạng vô định \(\frac{0}{0}\))
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
Có lẽ bạn ghi ko đúng đề, hàm bên trên phải là \(\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x+1}}{x-1}\) thì giới hạn này mới là 1 số hữu hạn
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1-x}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2x+2}+\sqrt{3x+1}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{-1}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{3x+1}}=-\frac{1}{4}\)
Để hàm số đã cho liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3-2m\right)\sqrt{m-1}-3m+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(3-2m\right)\sqrt{m-1}-3m+1=0\)
Đặt \(\sqrt{m-1}=t\ge0\Rightarrow m=t^2+1\)
\(\left(3-2t^2-2\right)t-3\left(t^2+1\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow2t^3+3t^2-t+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+2\right)\left(2t^2-t+1\right)=0\)
\(\Rightarrow t=-2< 0\) (ktm)
Vậy ko tồn tại m để hàm số liên tục tại \(x=1\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3x\left(khix\le1\right)\\ax+2\left(khix>1\right)\end{matrix}\right.\)Gia trị của a để f(x) liên tục trên toàn trục số?
(giải cách tự luận)
Hàm liên tục với mọi \(x\ne1\)
Xét tại \(x=1\) ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x^2+3x\right)=2.1^2+3.1=5\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+2\right)=a+2\)
\(f\left(1\right)=a+2\)
Hàm liên tục trên toàn R khi hàm liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a+2=5\Rightarrow a=3\)