a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc BOM

=>\(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>OC\(\perp\)OD

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

\(\dfrac{AC^2+BD^2}{CD^2}\)

\(=\dfrac{AC^2+\left(3AC\right)^2}{\left(CM+MD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(CA+BD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(AC+3AC\right)^2}=\dfrac{10}{4^2}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\)

1) Vì EM,EA là tiếp tuyến \(\Rightarrow OE\) là phân giác \(\angle MOA\)

\(\Rightarrow\angle MOE=\dfrac{1}{2}\angle MOA\)

Vì FM,FB là tiếp tuyến \(\Rightarrow OF\) là phân giác \(\angle MOB\)

\(\Rightarrow\angle MOF=\dfrac{1}{2}\angle MOB\)

\(\Rightarrow\angle MOE+\angle MOF=\dfrac{1}{2}\left(\angle MOA+\angle MOB\right)=\dfrac{1}{2}.180=90\)

\(\Rightarrow\angle EOF=90\)

2) Ta có: \(\angle EAO+\angle EMO=90+90=180\Rightarrow AEMO\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle MEO=\angle MAO\)

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta OEF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMB=\angle EOF\\\angle FEO=\angle MAB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAB\sim\Delta OEF\left(g-g\right)\)

Vì \(AE\parallel BF(\bot AB)\) \(\Rightarrow\dfrac{BF}{AE}=\dfrac{FK}{AK}\left(1\right)\)

Vì EM,EA là tiếp tuyến \(\Rightarrow EA=EM\left(2\right)\)

Vì FM,FB là tiếp tuyến \(\Rightarrow FB=FM\left(3\right)\)

Thế (2),(3) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{FM}{EM}=\dfrac{FK}{AK}\Rightarrow\) \(MK\parallel AE\) \(\Rightarrow MK\bot AB\)

a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA 

Xét (O) cso

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

DO đó: DM=DB

Ta có: CM+MD=CD

mà CM=CA

và MD=DB

nên CD=CA+DB

b: Xét tứ giác DMOB có 

\(\widehat{DMO}+\widehat{DBO}=180^0\)

Do đó: DMOB là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)

\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA đồng dạng với ΔNBD

=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)

Xét ΔCDB có \(\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{CM}{MD}\)

nên MN//BD

a) Xét (O) có 

OA là bán kính

CA⊥OA tại A(gt)

Do đó: CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (O) có 

OB là bán kính

BD⊥BO tại B(gt)

Do đó: DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (O) có 

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(cmt)

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(cmt)

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+MD=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và MD=DB(cmt)

nên CD=AC+BD(đpcm)

Ta có: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(cmt)

nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(cmt)

nên \(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)(cmt)

và \(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^0\)

hay \(\widehat{COD}=90^0\)(đpcm)