Xét điểm \(B\left(3+t;-2t\right)\in d_2\). Lấy điểm A sao cho M(1;2) là trung điểm của AB. Khi đó \(A\left(1-t;4+2t\right)\) và 

\(A\in d_1\Leftrightarrow\frac{1-t-3}{3}=\frac{4+2t}{-1}\Leftrightarrow t=-2\)

Do đó B(1;4) và đường thẳng \(\Delta\) cần tìm có phương trình x=1

Bài toán quy về tìm phương trình đường vuông góc chung:

\(d_1\): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1-t\\z=2-t\end{matrix}\right.\)

- \(\left[\overrightarrow{u_{d1}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(1;-1;2\right)\Rightarrow\)(P) chứa \(d_2\) và \(\left(P\right)//d_1\) có vtpt \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;-1;2\right)\)

- (Q) chứa \(d_2\) và \(\left(Q\right)\perp\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(2;-2;-2\right)=2\left(1;-1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (Q):

\(1\left(x-3\right)-1\left(y-2\right)-1\left(z-5\right)=0\Leftrightarrow x-y-z+4=0\)

Tọa độ A:

\(2+t-\left(1-t\right)-\left(2-t\right)+4=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow A\left(1;2;3\right)\)

Đáp án ?!

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ \(( - 3; - 1)\)

b) Đường thẳng \({d_1}\) có phương trình tổng quát là: \({d_1}:2x - y + 1 = 0\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\) và góc giữa chúng là \(45^\circ \)

c) Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình tổng quát là:

\({d_1}:3x + y - 11 = 0,{d_2}:x - 3y + 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + ( - 1).1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - 3; - 1} \right)\)

 b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(1;3)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(5.1 - 2.3 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song

c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)\)

Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(2;5)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(3.2 + 5 - 11 = 0\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trùng nhau

Do  \(\Delta\) đi qua A và vuông góc với d nên  \(\Delta\) phải nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.

Mặt phẳng (P) nhận vecto \(\overrightarrow{u}=\left(2;-1;4\right)\) của d làm vecto pháp tuyến, đi qua A(-4;-2;4) có phương trình : \(2x-y+4z-10=0\)

Gọi M là giao điểm của d và (P) thì M(-3+2t;1-t;-1+4t) thuộc d và M thuộc  \(\Delta\)

Bài 1:

ĐKXĐ:.............

Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):

\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)

Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$

Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)

Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)

Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)

\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)

Bài 2:

Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)

Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau

Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)

Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:

\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)