Kẻ AH  |  BC.

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H:

\(AH^2+HB^2=AB^2\) (Định lý Pytago)

\(\Rightarrow AH^2=AB^2-HB^2\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại H:

\(AH^2+HM^2=AM^2\)(Định lý Pytago)

\(\Rightarrow\left(AB^2-HB^2\right)+HM^2=AM^2\)

\(AB^2+\left(HM-HB\right)\left(HM+HB\right)=AB^2+BM.\left(HM-HB\right)=AB^2+\frac{1}{2}BC\left(HM-HB\right)=AM^2\)

\(\Rightarrow AB^2=AM^2-\frac{1}{2}BC\left(HM-HB\right)\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H:

\(AH^2+HC^2=AC^2\)(Định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2-AM^2=HC^2-HM^2=\left(HC-HM\right)\left(HC+HM\right)=MC\left(HC+HM\right)=\frac{1}{2}BC\left(HC+HM\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=AM^2+\frac{1}{2}BC\left(HC+HM\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=AM^2-\frac{1}{2}BC\left(HM-HB\right)+AM^2+\frac{1}{2}BC\left(HC+HM\right)\)

\(=2AM^2+\frac{1}{2}BC.\left(HC+HM-HM+HB\right)\)

\(=2AM^2+\frac{1}{2}BC^2\)

\(\Rightarrow2\left(AB^2+AC^2\right)=2\left(2AM^2+\frac{1}{2}BC^2\right)\)

\(2AB^2+2AC^2=4AM^2+BC^2\)

\(\Rightarrow2AB^2+2AC^2-BC^2=4AM^2\)

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác 
AM2=(AB2+AC2)/2-BC2/4 
2AM2=AB2+AC2-1/2.BC2 
2AM2+1/2.BC2=AB2+AC2-1/2BC2+1/2BC2=AB2... 
chúc bạn thành công!!!

Chúc Bạn Học Tốt, Bài Mình Chắc Sai ðấy :D Sorry rất nhìu~

bài 2:

ta có : điểm M nằm trên đường trung trực của BC nên M sẽ cách đều B và C => MB=MC

Ta có: AC=AM+MC

=> AC=AM+MB

Bài 2: Tam giác BNC cân tại N vì đường thẳng hạ từ N xuống vuong góc cạnh đối diện cũng là trung tuyến nên BN=NC

=> AN+BN=AN+NC=AC 

Để chứng minh rằng √2/AD = 1/AB + 1/AC, ta có thể sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường phân giác AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

AB/BD = AC/CD

Từ đó, ta có:

AB/AD + AC/AD = AB/BD + AC/CD

= (AB + AC)/(BD + CD)

= (AB + AC)/BC

= 1/BC (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy, ta có:

1/AD = 1/AB + 1/AC

√2/AD = √2/AB + √2/AC

Vậy, chứng minh đã được hoàn thành.

Để chứng minh rằng nếu 1/ah^2 + 1/am^2 = 2/ad^2, ta cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

2/AD^2=(căn 2/AD)^2

=(1/AB+1/AC)^2

\(=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+2\cdot\dfrac{1}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+2\cdot\dfrac{1}{AH\cdot BC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)