Cảm ơn cô rất nhiều :33

Em cám ơn cô rất nhiều ạ. Theo em những món quà chỉ mang tính khích lệ thôi nên theo em chỉ nên là coin hoặc gp hoặc móc khóa hoặc cái gì đó rẻ rẻ . Ý kiến riêng ạ

Phần thưởng nỗ lực của các bạn thì em nghĩ là:

chiếc bút ghi tên bạn đã tích cực + tên HOC24 + lời chúc ạ để các bạn ấy có thêm động lực để học tập

Chỉ 1 dòng chữ nhỏ cũng có thể đem lại nhiệm màu

Chưa like anh ạ=))

de nhu the ai nhin dc :))))

C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v

Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).

Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)

Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1

Còn tưởng giải bài tập cơ XD

Eo AD có tâm quá điii..

2.

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

Câu cuối:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)

7:

a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta có \(x+y=2\).

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).

Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).

Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).

Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).

BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

`4)(2x^3+3x)/(7-2x)>\sqrt{2-x}(x<=2)`

`<=>(2x^3+3x^2)/(7-2x)-1>\sqrt{2-x}-1`

`<=>(2x^3+3x^2+2x-7)/(7-2x)-((\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1))/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>(2x^3-2x^2+5x^2-5x+7x-7)/(7-2x)-(1-x)/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>((x-1)(2x^2+5x+7))/(7-2x)+(x-1)/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`<=>(x-1)((2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1))>0`

`<=>x>1` do `x<=2=>7-2x>0,2x^2+5x+7>0 AA x,\sqrt{2-x}>0,1>0`

`=>(2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1)>0`

`=>1<x<=2`

Câu 1:

$\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-4=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\\\end{cases}$

`<=>` $\begin{cases}686x^2-1028y^2-174x+294y-196=0\\525x^2+420y^2+615x-1830y+840\\\end{cases}$

Lấy pt đầu trừ pt dưới

`<=>161x^2+483y-1127-483xy-1449y+3381+218x+654y-1519=0`

`<=>161x(x+3y-7)-483y(x+3y-7)+218(x+3y-7)=0`

`<=>(x+3y-7)(161x-483y+218)=0`

Đến đây chia 2 th ta được `(x,y)=(-2,3),(1,2)`

Câu 5:

\(2\ge a^2+c^2+b^2\ge2\left|ac\right|+b^2\ge2\left|ac\right|\Rightarrow-1\le ac\le1\)

\(2\ge a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow2-2ab-2bc+2ca\ge a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2-2ab-2bc+2ca\ge\left(a+c-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow1-ab-bc+ca\ge0\)

\(\Rightarrow-ab-bc\ge-ca-1\)

\(\Rightarrow P\ge2021ca-ca-1=2020ca-1\ge-2020-1=-2021\)

\(P_{min}=-2021\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;-1\right)\) hoặc \(\left(-1;0;1\right)\)

C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v

Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).

Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)

Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1

C108 :

Áp dụng BĐT Cô - si ta có :

\(xy\left(x^2+y^2\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left[2xy.\left(x^2+y^2\right)\right]\le\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)^4}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^4}{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

\(P=\sum\sqrt[3]{3a+1}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}\sum\sqrt[3]{2\cdot2\cdot\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}\sum\left(3a+5\right)=3\sqrt[3]{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}.\)

Nãy em sai nha chứ không phải đề sai:vv Buồn ngủ đọc không kỹ đề:vv

Bài 1.1.8 Khá hay và dễ.

Ta chứng minh: \(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)^2\ge\left(1+ab^2\right)^3\)

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

\(VT=\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left[1+\left(a\cdot b\cdot b\right)\right]^3=\left(1+ab^2\right)^3\)

Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại và nhân theo vế ta thu được đpcm.

Dấu đẳng thức xin dành cho bạn đọc.

Ps:  BTV thì BTV, thấy bài là em giải nha:v

Bài 183:

Ta cần chứng minh : \(\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab\left(a^3+b^3\right)+bc\left(b^3+c^3\right)+ca\left(c^3+a^3\right)\ge2abc\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+c^4a+ca^4\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương a,b,c có:

\(a^4b+bc^4\ge2a^2bc^2,ab^4+ac^4\ge2ab^2c^2,b^4c+ca^4\ge2a^2b^2c\)

\(\Rightarrow a^4b+ab^4+b^4c+bc^4+ca^4+c^4a\ge2a^2b^2c+2ab^2c^2+2a^2bc^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{c}+\dfrac{b^3+c^3}{a}+\dfrac{c^3+a^3}{b}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 129:

ĐKXĐ: \(x^2-y+1\ge0\)\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-2x+y^2+y-4xy=0\left(1\right)\\x^2-x+y=\left(y-x+3\right)\sqrt{x^2-y+1}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(2x-y\right)^2-\left(2x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(2x-y-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=2x-1\end{matrix}\right.\)

Nếu y=2x Thay vào (2) ta được: 

\(\Rightarrow x^2-x+2x=\left(2x-x+3\right)\sqrt{x^2-2x+1}\Leftrightarrow x^2+x=\left(x+3\right)\left|x-1\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=\left(x+3\right)\left(1-x\right)\left(x< 1\right)\left(3\right)\\x^2+x=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x\ge1\right)\left(4\right)\end{matrix}\right.\) 

Từ (3) \(\Rightarrow x^2+x=x-x^2+3-3x\Leftrightarrow2x^2+3x-3=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\cdot\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16}-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{33}{16}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}\left(L\right)\\x=\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y=\) \(2\cdot\left(\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\)

Từ (4) \(\Rightarrow x^2+x=x^2-x+3x-3\Leftrightarrow-x=-3\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)\(\Rightarrow y=6\)

Nếu y=2x+1 Thay vào (2) ta được: 

\(\Rightarrow x^2-x+2x+1=\left(2x+1-x+3\right)\sqrt{x^2-2x-1+1}\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}\left(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le0\end{matrix}\right.;x\ge-4\right)\)

\(\Rightarrow x^2+x+1-\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow2x^2+2x+2-2x\sqrt{x^2-2x}-4\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow x^2-2x+x^2+4-2x\sqrt{x^2-2x}+4x-4\sqrt{x^2-2x}=2\Leftrightarrow\left(-\sqrt{x^2-2x}+x+2\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{x^2-2x}+x+2=\sqrt{2}\left(5\right)\\-\sqrt{x^2-2x}+x+2=-\sqrt{2}\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (5) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2-\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2-\sqrt{2}\right)^2-2x\left(2-\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2-\sqrt{2}-2\right)=4+2-4\sqrt{2}\Leftrightarrow-2\sqrt{2}x=6-4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\) \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=-3\sqrt{2}+5\)

Từ (6) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2+\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2+\sqrt{2}\right)^2+2x\left(2+\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2+\sqrt{2}-2\right)=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow2\sqrt{2}x=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\)

 \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=3\sqrt{2}+5\)

Vậy...