Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=2
Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{y^2+z^2}+\dfrac{2}{z^2+x^2}-\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2020
Chứng minh: \(\dfrac{2020}{x^2+y^2}+\dfrac{2020}{y^2+z^2}+\dfrac{2020}{z^2+x^2}\le\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)
/\(2020\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)ápdụngBDT\)
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2}\ge\dfrac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{9}{2\cdot2020}\)
\(ápdụngBĐTcosi\)
\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\)=> VP\(\ge\) 9/2
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=2. Tìm GTNN của biểu thức\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
a) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=3, tìm giá trị nhỏ nhất của F=\(\dfrac{x^2+1}{z+2}\)+\(\dfrac{y^2+1}{x+2}\)+\(\dfrac{z^2+1}{y+2}\)
b) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3, chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}\) +\(\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\)\(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y+z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)+\dfrac{7x^2}{2}\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2007\)
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện \(\dfrac{3x^2}{2}\)+ y2 + z2 +yz = 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A = x + y + z
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Rightarrow2\ge3x^2+2y^2+2z^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2\)
\(\Rightarrow\)\(A^2\le2\) \(\Leftrightarrow A\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
minA=-1\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=-\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
maxA=1\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+x>=6. Tìm gtnn của biểu thức P=\(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\)+\(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\)+\(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\)
Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)
Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x2+y2+z2=\(\dfrac{3}{4}\)
Cmr:2(1-x)(1-y)\(\ge\)z
Với mọi x;y;z ta luôn có:
\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)
\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)
\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện
\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\le12\).
Tìm GTLN của biểu thức \(S=\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{2}{y+x}+\dfrac{3}{z+y}\).
Giá trị lớn nhất là 3
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y +z = xyz .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = \(\dfrac{y+2}{x^2}+\dfrac{z+2}{y^2}+\dfrac{x+2}{z^2}\)