Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Thanh Ngân

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=2

Tìm GTLN của biểu thức:

\(P=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{y^2+z^2}+\dfrac{2}{z^2+x^2}-\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

Akai Haruma
25 tháng 1 2021 lúc 10:48

Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:

$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

(theo BĐT AM-GM)

$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$

Vậy $P_{\max}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

 


Các câu hỏi tương tự
Kresol♪
Xem chi tiết
phạm kim liên
Xem chi tiết
Hùng Mạnh
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Baekhyun
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Ex Crush
Xem chi tiết