Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dũng Nguyễn

cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=2. Tìm GTNN của biểu thức\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

Hoàng Nguyễn Văn
1 tháng 2 2021 lúc 0:10

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thành Phát
Xem chi tiết
ergerjhesu
Xem chi tiết
Đặng Cao Thảo Na
Xem chi tiết
Trần Bảo Bảo
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Trai Vô Đối
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Vũ Sơn Tùng
Xem chi tiết