a, Ta có:

   Bx là tiếp tuyến của (O)

   MC là tiếp tuyến của (O)

=>BM=MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)   

=> M thuộc đường trung trực của BC  (1)

   OB=OC=R

=> O thuộc đường trung trực của BC (2)

   Từ (1) và (2) => OM là đường trung trực của BC   => OM vuông góc với BC (đpcm)

b, 

Xét tam giác AHO và CHO có:

     AH = HC (gt)

     HO chung

    OA = OC ( = R)

=> Tam giác AHO = tam giác CHO (c.c.c)

=>Góc AOH = góc COH 

Có: Góc COM = góc BOM (tính chất 2 tiếp tuyến Bx và MC cắt nhau)

 Góc AOH + góc HOC + góc COM + góc MOB = 180 độ

   <=>  2 HOC + 2 MOC = 180 độ

   <=> 2 (HOC+MOC) = 180 độ

   <=>  HOC + MOC = 90 độ 

Hay HOI = 90 độ 

OM vuông góc với BC (cmt)

=>Góc OIC  = 90 độ 

Xét (O) có điểm C nằm trên đường tròn => Góc ACB = 90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn)

     Hay góc HCI = 90 độ

Xét từ giác HOIC có: 

     Góc HOI = 90 độ

     Góc OIC = 90 độ 

     Góc HCI = 90 độ 

=> Tứ giác HOIC là hình chữ nhật

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>AB\(\perp\)AC

mà OM\(\perp\)AC

nên OM//AB

b: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét ΔOAN và ΔOCN có

OA=OC

\(\widehat{AON}=\widehat{CON}\)

ON chung

Do đó: ΔOAN=ΔOCN

=>\(\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=90^0\)

=>CN là tiếp tuyến của (O)

c:

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{ABC}=2\cdot60^0=120^0\)

Xét ΔBAC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AC}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AC=R\sqrt{3}\)

ΔOAN=ΔOCN

=>NA=NC(1)

Xét tứ giác OANC có

\(\widehat{OCN}+\widehat{OAN}=90^0+90^0=180^0\)

nên OANC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AOC}+\widehat{ANC}=180^0\)

=>\(\widehat{ANC}=180^0-120^0=60^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔNAC đều

=>\(S_{NAC}=\dfrac{AC^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\sqrt{3}}{4}\)

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Ta có: AC⊥CB

OD⊥CB

Do đó: AC//OD

a: Xét (O) có

MC,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BC

=>MO\(\perp\)BC

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC\(\perp\)AC tại C

=>BC\(\perp\)AN tại C

=>ΔBNC vuông tại C

Ta có: \(\widehat{NCM}+\widehat{MCB}=\widehat{NCB}=90^0\)

\(\widehat{CNM}+\widehat{CBM}=90^0\)(ΔNCB vuông tại C)

mà \(\widehat{MCB}=\widehat{MBC}\)

nên \(\widehat{NCM}=\widehat{CNM}\)

=>ΔMNC cân tại M

=>MN=MC

mà MC=MB

nên MN=MB

=>M là trung điểm của BN

c: ta có: CH\(\perp\)AB

NB\(\perp\)BA

Do đó: CH//NB

Xét ΔANM có CI//NM

nên \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{AI}{AM}\left(3\right)\)

Xét ΔAMB có IH//MB

nên \(\dfrac{IH}{MB}=\dfrac{AI}{AM}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{IH}{MB}\)

mà NM=MB

nên CI=IH

=>I là trung điểm của CH

a: ΔOAC cân tại O có OM là đườg cao

nên OM là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

góc AOM=góc COM

OM chung

=>ΔOAM=ΔOCM

=>góc OCM=90 độ

=>MC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét ΔAND vuông tại N và ΔANB vuông tại N có

AN chung

góc NAB=góc NAD

=>ΔAND=ΔANB

=>DN=BN

=>N là trung điểm của BD

c: CN//AB

AB vuông góc CH

=>CN vuông góc CH

=>CN là tiếp tuyến của (O)

a) Xét (O) có

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

b) Xét ΔABC vuông tại C có

\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)

hay \(\widehat{ABC}=30^0\)

Vậy: \(\widehat{ABC}=30^0\)

c)

Xét ΔOBC có OB=OC(=R)

nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔOBC cân tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)

nên OM là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)

hay \(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)

Xét ΔBON và ΔCON có 

OB=OC(=R)

\(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)(cmt)

ON chung

Do đó: ΔBON=ΔCON(c-g-c)

⇒\(\widehat{OBN}=\widehat{OCN}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{OBN}=90^0\)(NB⊥OB tại B)

nên \(\widehat{OCN}=90^0\)

hay NC⊥OC tại C

Xét (O) có 

OC là bán kính

NC⊥OC tại C(cmt)

Do đó: NC là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

a) Dễ thấy: góc MQA=90độ

MA, MC là 2 tiếp tuyến nên MO vuông góc với AC hay góc MIA=90 độ

suy ra AIQM là tứ giác nội tiếp

b) AIQM là tứ giác nội tiếp nên: góc IMQ = góc QAI

mà góc QAI = góc QBC nên góc IMQ = góc QBC 

Hay OM // BC

Noi QI , IN

vi tu giac AIQM noi tiep => \(\widehat{QIC}=\widehat{AMQ}\),

Lai co \(\widehat{AMQ}=\widehat{HNB}=\widehat{QNC}\left(AM//CH\right)\)

=> Tu giac QINC noi tiep

=>\(\widehat{CIN}=\widehat{CQN}=\widehat{CAB}\Rightarrow IN//AH\)

Ma I la trung diem AC => N la trung diem CH

=> \(\frac{CH}{CN}=2\) khong doi khi M di chuyen tren 

dpcm

a: góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AD vuông góc MB

Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc AC tại E

góc AEM=góc ADM=90 độ

=>AEDM nội tiếp

b: Xét ΔMAB vuông tại A có AD vuông góc MB

nên MA^2=MD*MB