Kẻ BH vuông góc AD

Tam giác ABH là tam giác đều nên BH=AD=10(cm)

Suy ra S_ABCD=10.10=100(cm²)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\) CH là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

Do \(\widehat{ABD}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABD và BCD là tam giác đều cạnh a

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=120^0\)

Áp dụng định lý hàm cos cho tam giác BCH:

\(CH=\sqrt{BC^2+BH^2-2BC.BH.cos120^0}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=CH.tan60^0=\dfrac{a\sqrt{21}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.2S_{ABD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{21}}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{7}}{8}\)

1) hình tự vẽ nhé

a) Vì ABCD là hình thoi (gt)

\(\Rightarrow AB=BC\left(đn\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại B

Mà \(\widehat{B}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)là tam giác đều

b) Vì \(\Delta ABC\)đều(cmt)\(\Rightarrow AB=BC=AC=a\)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo BD và AC

Vì ABCD là hình thoi (gt) \(\Rightarrow DB\perp AC\left(tc\right)\)

\(\Rightarrow BO\perp AC\)

Vì tam giác ABC đều mà trong tam giác ABC thì BO là đường cao ứng với cạnh AC

\(\Rightarrow BO\)là đường trung tuyến ứng vs cạnh AC(tc)

\(\Rightarrow O\)là trung điểm của AC

\(\Rightarrow AO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BOC vuông tại O ta được:

\(BO^2+OC^2=BC^2\)

\(BO^2+\frac{1}{4}a^2=a^2\)

\(BO^2=\frac{3}{4}a^2\)

\(\Rightarrow BO=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

Ta có: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BO.AC=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}a}{2}.a\)

                                               \(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

CMTT \(S_{ADC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(S_{ABCD}=S_{ADC}+S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)

Đề thiếu dữ liệu để xác định độ dài SA rồi bạn

Đáp án A

Gọi φ  là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có  M B = 1 4 B C = a 2 , H B = a , H B M ^ = B A D ^ = 60 °

⇒ H M = H B 2 + M B 2 − 2 H B . M B . c o s H B M ^

⇒ H M = a 2 + a 2 4 − 2 a . a 2 . cos 60 ° = 3 2 a

⇒ H M 2 + M B 2 = 3 2 a 2 + a 2 2 = a 2 = H B 2

  ⇒ Δ H M B vuông tại M

  ⇒ H M ⊥ M B hay M N ⊥ B C .

Vì  S H ⊥ A D do  S H ⊥ A B C D M N ⊥ A D do  M N ⊥ B C ⇒ A D ⊥ S M N ⇒ A D ⊥ H K , mà H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A D . Lại có HK là đường trung bình của Δ I C E  nên H K // C E . Suy ra C E ⊥ S A D  tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy φ = S C , S A D ^ = S C , S E ^ = C S E ^ .

Đặt  S H = x , x > 0   . Do Δ S H N  vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H N 2 ⇒ H K = S H . H N S H 2 + H N 2 = 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 ⇒ C E = 2 H K = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2

Do Δ S H C  vuông tại H nên

S C = S H 2 + H C 2 = S H 2 + H M 2 + M C 2 = x 2 + 3 2 a 2 + 5 a 2 2 = x 2 + 7 a 2

  Δ S E C vuông tại E nên  sin φ = sin C S E ^ = E C S C = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 x 2 + 7 a 2

⇒ sin φ = 2 3 a x 4 x 4 + 21 a 4 + 31 a 2 x 2 ≤ 2 3 a x 4 21 a 2 x 2 + 31 a 2 x 2 = 2 3 4 21 + 31

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 x 4 = 21 a 4 ⇔ x 4 = 21 4 a 4 ⇔ x = 21 4 4 a .

Vậy góc φ  đạt lớn nhất khi   sin φ đạt lớn nhất, khi đó  S H = 21 4 4 a