Cho a,b,c là các số dương t/m a+b+c=1 a/a+b² + b/b+c² + c/c+a² < hoặc = ¼(1/a + 1/b +1/c) sử dụng bất đẳng thức cosi
=>
=>
=>
Tương tự, ta có:
Do đó, ta có:
(ĐPCM)
Chứng minh bất đẳng thức:
a) a^2 + b^2 + c^2 + \(\frac{3}{4}\)lớn hơn hoặc bằng - a - b - c
b) a^2 + b^2 + 4 lớn hơn hoặc bằng ab + 2(a+ b)
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b ) chuyển vế tương tự
áp dụng bất đẳng thức cô si chứng minh các bất đẳng thức:
a, (a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)>=9abc
b,\(\left(1+a\right)\cdot\left(1+b\right)\cdot\left(1+c\right)>=\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
c, a^2*(1+b^2)+b^2*(1+c^2)+c^2(1+a^2)>=6abc
>=: lớn hơn hoặc bằng
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\ge2\left(a+b+c\right)+\frac{9}{a+b+c}=a+b+c+\frac{9}{a+b+c}+a+b+c\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có \(a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right).9}{a+b+c}}=2\sqrt{9}=6\)
Lại có \(a+b+c\ge3\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow P\ge6+3=9\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Có bạn nào biết làm bài này ko ạ. Nếu biết thì giúp mình nhanh nhanh nhé, mình cảm ơn nhiều lắm
Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô Si chứng minh :
a) x/y + y/x lớn hơn hoặc bằng 2, với x, y>0
b) Cho a,b, c >0 ; a+b+c=1
Chứng minh 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9
a) áp dụng bđt cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\) (đpcm )
b) áp dụng bđt cô si dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (đpcm)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}>=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
dấu hiệu >= có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng nha
Cho a, b, c lớn hơn hoặc bằng 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\geq 0\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\geq 0\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
Cộng theo vế:\(\Rightarrow 3\geq 3\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
bài 3 : chứng minh các bất đẳng thức sau
a, (a+b/2)2 > hoặc bằng ab
b, a/b +b/a > hoặc bằng 2 với a,b>0
1.a)Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1.Chứng minh rằng (a+1)(b+1)(c+1) lớn hơn hoặc bằng 8.
b)Chocacs số a và b không âm.Chứng minh rằng (a+b)(ab+1) lớn hơn hoặc bằng 4ab.
2.Cho các số dương a,b,c,d có tích bằng 1.Chứng minh rằng a bình +b bình +c bình +d bình +ab+cd lớn hơn hoặc bằng 6.
3.Chứng minh rằng nếu a+b+c>0.abc>0.ab+bc+ca>0 thì a>0,b>0,c>0.
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề