Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\geq 0\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy:
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\geq 0\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
Cộng theo vế:\(\Rightarrow 3\geq 3\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
