Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thảo Hân

1, cho a,b,c ≥0 chứng minh các bất đẳng thức sau:

a, (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc

b, \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia+b+c>0\)

c, \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}vớia,b,c>0\)

EDOGAWA CONAN
22 tháng 12 2019 lúc 10:17
https://i.imgur.com/sjqJMto.jpg
Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
8 tháng 1 2021 lúc 22:20

hơn 1 năm rồi không ai làm :'(

a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
8 tháng 1 2021 lúc 22:23

b) Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)

TT : \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)

Cộng vế với vế

=> \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

=> \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
8 tháng 1 2021 lúc 22:25

c) Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thảo Hân
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
tran duc huy
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Easylove
Xem chi tiết