\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Lời giải:

Vì $A+B+C=1$ ta có:

$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$

$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$

hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$

Mình trình bày hơi tắt 1 chút nhé  

Vì \(a+b+c=1\) nên \(\begin{cases}a+b=1-a\\a+c=1-b\\b+c=1-c\end{cases}\)

Ta có:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8abc\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (đpcm)

sao a+b+c=1 mà a+b=1-a vậy Kiệt? ,a+b=1-c chứ?

ghi nhầm

\(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dễ thấy BĐt trên đúng theo Cô si:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Thiết lập cac BĐT tương tự và nhân lại ta có đpcm.

Biết là Cô-si,...làm giùm....

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)

\(=8abc=VP\)

Khi \(a=b=c\)

BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc

TA có BDT cô si

a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc

hơn 1 năm rồi không ai làm :'(

a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

b) Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2\sqrt{c^2}=2c\)

TT : \(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\); \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)

Cộng vế với vế

=> \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

=> \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

1) xét hiệu

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0

<=> ab+b²+a²+ab-4ab ≥ 0

<=> a² -2ab+b² ≥ 0

<=> (a-b)² ≥ 0 (luôn đúng )

=> đpcm

2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)