a) 

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha  = \widehat {xOM}\)

Do đó: \(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha  = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)

c) Với \(\alpha  \ne {90^o}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

để mình làm cho 

\(P=\sin^6_a+\cos^6_a+3\sin_a^2+\cos^2_a=\left(\sin^2_a+\cos^2_a\right)\left(\sin^4_a-\sin^2_a\cos^2_a+\cos^4_a\right)\) \(+3.\sin^2_a.\cos^2_a\)

         \(=\sin^4_a+2\sin^2_a.\cos^2_a+\cos^4_a=\left(\sin^2_a+\cos^2_a\right)^2=1\)

đề đoạn cuối phải là nhân chứ không phải +

ko phụ thuộc nhé 

ok vậy có lẽ mk chép sai đề thật 

\(0< a< 90^0\)

=>\(sina>0\)

\(sin^2a+cos^2a=1\)

=>\(sin^2a=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}\)

=>\(sina=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)

\(tana=\dfrac{sina}{cosa}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}\)

\(cota=\dfrac{1}{tana}=\dfrac{3}{\sqrt{7}}\)

\(A=\dfrac{tana+3cota}{tana+cota}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{3}+\dfrac{9}{\sqrt{7}}}{\dfrac{3}{\sqrt{7}}+\dfrac{\sqrt{7}}{3}}\)

\(=\dfrac{34}{3\sqrt{7}}:\dfrac{16}{3\sqrt{7}}=\dfrac{17}{8}\)

Câu 2 đề sai, phải là tìm \(max\) bạn nhé.

Đặt \(a=\sin x,b=\cos x\) thì \(P\left(x\right)=3a+\sqrt{3}b\) với \(a^2+b^2=1\)

(Tư tưởng Cauchy-Schwarz quá rõ)

Ta có \(\left(a^2+b^2\right)\left(9+3\right)\ge\left(3a+\sqrt{3}b\right)^2=P^2\left(x\right)\)

Suy ra \(P\left(x\right)\le2\sqrt{3}\). Đẳng thức xảy ra tại \(x=60\) độ.

Câu 1 để mình suy nghĩ sau.

Tham khảo:

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \({90^o} - \alpha  = {0^o}\)

Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  \(\cos \alpha  = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)

Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha  < {90^0}\)

M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: \(\alpha  = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha  = \widehat {AON}\)

Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha  = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha  = \widehat {NOB}\)

Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\)  ta có:

\(OM = ON\)

\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta NOQ = \Delta MOP\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\QN = MP\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:

\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = a; AC = b; AB = c và góc B \(=\alpha\) .

Bạn tự vẽ hình nha. CM: Ta có: 

\(\frac{1}{\tan^2\alpha}+1=\frac{1}{\frac{b^2}{c^2}}+1=\frac{c^2}{b^2}+1=\frac{c^2+b^2}{b^2}=\frac{a^2}{b^2}\) (định lí Py-ta-go)

\(\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\frac{b^2}{a^2}}=\frac{a^2}{b^2}\). Do đó:  \(\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\tan^2\alpha}+1\)

\(\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3};\cos\alpha=\dfrac{1}{3}\)

a) Ta có A=\dfrac{\tan \alpha+3 \dfrac{1}{\tan \alpha}}{\tan \alpha+\dfrac{1}{\tan \alpha}}=\dfrac{\tan ^{2} \alpha+3}{\tan ^{2} \alpha+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos ^{2} \alpha}+2}{\dfrac{1}{\cos ^{2} \alpha}}=1+2 \cos ^{2} \alphaA=tanα+tanα1​tanα+3tanα1​​=tan2α+1tan2α+3​=cos2α1​cos2α1​+2​=1+2cos2α Suy ra A=1+2 \cdot \dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{8}A=1+2⋅169​=817​.

b) B=\dfrac{\dfrac{\sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}-\dfrac{\cos \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}{\dfrac{\sin ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\dfrac{3 \cos ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\dfrac{2 \sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}=\dfrac{\tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)-\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}{\tan ^{3} \alpha+3+2 \tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}B=cos3αsin3α​+cos3α3cos3α​+cos3α2sinα​cos3αsinα​−cos3αcosα​​=tan3α+3+2tanα(tan2α+1)tanα(tan2α+1)−(tan2α+1)​.

Suy ra B=\dfrac{\sqrt{2}(2+1)-(2+1)}{2 \sqrt{2}+3+2 \sqrt{2}(2+1)}=\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{3+8 \sqrt{2}}B=22​+3+22​(2+1)2​(2+1)−(2+1)​=3+82​3(2​−1)​.