xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho \(f\left(x\right)=x^4+ax^2+b\) chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2-x-1\)
Xác định các hệ số a,b để \(f\left(x\right)=x^4+3x^3-x^2+\left(2a-b\right)x+3b+a\) chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2+3x-1\)
f(x) chia hết cho x^2+3x-1
=>(2a-b)=0 và 3b+a=0
=>a=b=0
Xác định các hệ số a, b, c sao cho đa thức: \(f\left(x\right)=2x^4+ax^2+bx+c\) chia hết cho đa thức x-2 và khi chia cho đa thức: \(x^2-1\) thì có dư là x
Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:
\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)
Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:
\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...
Xác định các hệ số a, b, c biết \(f\left(x\right)=x^5+x^4-9x^3+ax^2+bx+c\) chia hết cho \(g\left(x\right)=\left(x^2-4\right)\left(x+3\right)\)
Cho 2 đa thức \(f\left(x\right)=2x^2+ax+4\) và \(g\left(x\right)=x^2-5x-b\) (\(a,b\) là hằng số)
Tìm các hệ số \(a,b\) sao cho \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\) và \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
Ta có \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\)
hay \(2.1^2+a.1+4=2^2-5.2-b\)
\(2+a+4\) \(=4-10-b\)
\(6+a\) \(=-6-b\)
\(a+b\) \(=-6-6\)
\(a+b\) \(=-12\) \(\left(1\right)\)
Lại có \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)
hay \(2.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+4=5^2-5.5-b\)
\(2-a+4\) \(=25-25-b\)
\(6-a\) \(=-b\)
\(-a+b\) \(=-6\)
\(b-a\) \(=-6\)
\(b\) \(=-b+a\) \(\left(2\right)\)
Thay \(\left(2\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(a+\left(-6+a\right)=-12\)
\(a-6+a\) \(=-12\)
\(a+a\) \(=-12+6\)
\(2a\) \(=-6\)
\(a\) \(=-6:2\)
\(a\) \(=-3\)
Mà \(a=-3\)
⇒ \(b=-6+\left(-3\right)=-9\)
Vậy \(a=3\) và \(b=-9\)
Cái Vậy \(a=3\) và \(b=-9\) bạn ghi là \(a=-3\) và \(b=-9\) nha mk quên ghi dấu " \(-\) "
Xác định các hệ số a,b,c để đa thức:
\(f\left(x\right)=x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c\) chia hết cho đa thức \(g\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\)
Để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)thì \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot q\)( với q là hằng số )
Khi đó ta có pt :
\(x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
Vì pt trên đúng với mọi x nên :
+) đặt \(x=1\)
\(pt\Leftrightarrow1^5-2\cdot1^4-6\cdot1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c=\left(1-1\right)\left(1+1\right)\left(1-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow-7+a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=7\)(1)
Chứng minh tương tự, lần lượt đặt \(x=-1\)và \(x=3\)ta có các pt :
\(\hept{\begin{cases}3+a-b+c=0\\-81+9a+3b+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt 3 ẩn :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=7\\a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}\)
Giải hệ ta được \(\hept{\begin{cases}a=8\\b=5\\c=-6\end{cases}}\)
Vậy....
Xác định hệ số a, b để f(x) chia hết cho g(x), với:
\(f\left(x\right)=x^4+4\)
\(g\left(x\right)=x^2+ax+b\)
Xác định các hệ số a và b để đa thức\(f\left(x\right)\)=x4+ax2+b chia hết cho \(g\left(x\right)\)=x2-3x+2
Cho \(f\left(x\right)=6x^4-7x^3+ax^2+3x+2\) và \(g\left(x\right)=x^2-x+b\).Xác định a,b để f(x) chia hết cho g(x)
Đặt tính chia tìm thương và dư của f(x) cho g(x) ta được:
\(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(6x^2-x+a-6b-1\right)+\left[\left(a-5b+2\right)+\left(6b^2+b-ab+2\right)\right]\)
Vậy để f(x) chia hết cho g(x) thì dư phải bằng 0, khi đó:
\(\hept{\begin{cases}a-5b+2=0\\6b^2+b-ab+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5b-2\\6b^2+b-b\left(5b-2\right)+2=0\Rightarrow b^2+3b+2=0\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-1\Rightarrow a=-7\\b=-2\Rightarrow a=-12\end{cases}}\)
Vậy các giá trị cần xác định của a, b để f(x) chia hết cho g(x) là (a;b) = (-7;-1) , (-12;-2)
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\) có các hệ số a,b là các số hữu tỉ và \(f\left(\sqrt{3}-1\right)=2021\). Tìm a,b và tính \(f\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\\ \Leftrightarrow f\left(\sqrt{3}-1\right)=a\left(4-2\sqrt{3}\right)+b\left(\sqrt{3}-1\right)+2020=2021\\ \Leftrightarrow4a-2a\sqrt{3}+b\sqrt{3}-b-1=0\\ \Leftrightarrow\left(4a-b-1\right)-\sqrt{3}\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow4a-b-1=\sqrt{3}\left(2a-b\right)\)
Vì a,b hữu tỉ nên \(4a-b-1;2a-b\) hữu tỉ
Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(2a-b\right)\) hữu tỉ khi \(2a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b-1=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(1+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sqrt{3}\right)+1+\sqrt{3}+2020=2023+2\sqrt{3}\)