a: \(O=AC\cap BD\)

=>\(O\in AC\subset\left(SAC\right);O\in BD\subset\left(SBD\right)\)

=>\(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

Xét (SAB) và (SCD) có

AB//CD

\(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)

Do đó: \(\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=xy\); xy đi qua S và xy//AB//CD
b: Chọn mp(SBD) có chứa BM

(SBD) giao (SAC)=SO

Gọi I là giao điểm của SO với BM

=>I là giao điểm của BM với (SAC)

a: \(M\in\left(BMN\right);M\in SA\subset\left(SAC\right)\)

=>\(M\in\left(BMN\right)\cap\left(SAC\right)\)

\(C\in BN\subset\left(BMN\right);C\in\left(SAC\right)\)

=>\(C\in\left(BMN\right)\cap\left(SAC\right)\)

Do đó: \(CM=\left(BMN\right)\cap\left(SAC\right)\)

b: Xét (BMN) và (SAD) có

BN//AD

\(M\in\left(BMN\right)\cap\left(SAD\right)\)

Do đó: \(\left(BMN\right)\cap\left(SAD\right)=xy\); xy đi qua M và xy//BN//AD
d: Xét (MCD) và (SAB) có

CD//AB

\(M\in\left(MCD\right)\cap\left(SAB\right)\)

Do đó: (MCD) giao (SAB)=ab, ab đi qua M và ab//CD//AB

Trong mp (ABCD), nối MN kéo dài lần lượt cắt AB và AD kéo dài tại E và F

Trong mp (SAB), nối PE cắt SA tại G \(\Rightarrow PG=\left(MNP\right)\cap\left(SAB\right)\)

Trong mp (SAD), nối PF cắt SD tại H \(\Rightarrow PH=\left(MNP\right)\cap\left(SAD\right)\)

\(NH=\left(MNP\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(GM=\left(MNP\right)\cap\left(SBC\right)\)

a.

Do O là tâm hbh \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

\(\Rightarrow OJ\) là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OJ||SA\)

Mà \(SA\in\left(SAC\right)\Rightarrow OJ||\left(SAC\right)\)

\(SA\in\left(SAB\right)\Rightarrow OJ||\left(SAB\right)\)

b. O là trung điểm BD, I là trung điểm BC

\(\Rightarrow OI\) là đườngt rung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow OI||CD\)

Mà \(CD\in\left(SCD\right)\Rightarrow OI||\left(SCD\right)\)

Tương tự ta có IJ là đường trung bình tam giác SBC \(\Rightarrow IJ||SB\Rightarrow IJ||\left(SBD\right)\)

c. Ta có I là trung điểm BC, O là trung điểm AC

\(\Rightarrow M\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{3}BD\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

Theo giả thiết \(SK=\dfrac{1}{2}KD=\dfrac{1}{2}\left(SD-SK\right)\Rightarrow SK=\dfrac{1}{3}SD\)

\(\Rightarrow\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BM}{BD}\Rightarrow KM||SB\) (Talet đảo)

\(\Rightarrow MK||\left(SBC\right)\)

mình ko bt làm

2:

a: AD và BC là hai đường thẳng song song

b: \(S\in\left(SAB\right)\)

\(S\in\left(SCD\right)\)

Do đó:S là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

c: AB//CD

\(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)

Do đó; \(\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=mn\), mn đi qua S và mn//AB//CD

a) S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) mà AB // CD

Từ S kẻ Sx sao cho Sx // AB // CD nên Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Gọi E là trung điểm của AB

G là trọng tâm tam giác SAB nên \(\frac{{EG}}{{SE}} = \frac{1}{3}\)

N là trọng tâm tam giác ABC nên\(\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}\)

Theo Ta lét, suy ra GN // SC mà SC \( \subset \) (SAC). Do đó, GN // (SAC)

\(\left\{{}\begin{matrix}S=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\\O=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

b.

Trong mp (SAC), nối MO kéo dài cắt SC kéo dài tại H

\(\left\{{}\begin{matrix}H\in MO\\H\in SC\in\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H=MO\cap\left(SCD\right)\)

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAB} \right)\\C{\rm{D}}\parallel AB\\C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \)Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\), song song với \(C{\rm{D}}\) và \(AB\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}BC = \left( {BCM} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN = \left( {BCM} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\BC\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(A{\rm{D}}\parallel BC\parallel MN\).

Vậy tứ giác \(CBMN\) là hình thang.