Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 3. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi 2ᴨ. Tính khoảng cách d từ tâm I đến mặt phẳng (P).
A. d = 2
B. d = 2 2
C. d = 7 2
D. d = 7
Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính r. Mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính R. Kết luận nào sau đây sai?
A. R = r 2 + d 2 ( O , ( α ) )
B. d ( O , ( α ) ) < r
C. Diện tích của mặt cầu là S = 4 πr 2
D. Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bsn kính mặt cầu.
Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính r. Mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính R. Kết luận nào sau đây sai?
A. R = r 2 + d 2 O , α
B. d O , α < r
C. Diện tích của mặt cầu là S = 4 πr 2
D. Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bán kính mặt cầu.
Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1= 0, (Q): 2x + y + z - 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. r = 3
B. r = 3 2
C. r = 2
D. r = 3 2 2
Chọn D
Gọi I (m; 0; 0) là tâm mặt cầu có bán kính R, d1, d2 là các khoảng cách từ I đến (P) và (Q).
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (1) có đúng một nghiệm m
Cho mặt cầu (S) bán kính R=5cm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 πcm . Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (không thuộc đường tròn (C)) và tam giác ABC là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD.
A. 32 3 c m 3
B. 60 3 c m 3
C. 20 3 c m 3
D. 96 3 c m 3
Cho mặt cầu (S) bán kính R = 5cm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng 8 π Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) (không thuộc đường tròn (C)) và tam giác ABC là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD.
A. 32 3 c m 3 .
B. 60 3 c m 3 .
C. 20 3 c m 3 .
D. 96 3 c m 3 .
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P : x - y + 2 z + 1 = 0 và Q : 2 x + y + z - 1 = 0 . Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2, (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.
A. r = 3
B. r = 3 2
C. r = 2
D. r = 3 2 2
Chọn đáp án D
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I m ; 0 ; 0 và bán kính là R (do I ∈ O x ).
Ta có
Từ đó suy ra
Để có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng một nghiệm m, tức là
Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (P): x-y+2z+1 = 0,(Q):2x+y+z-1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. r = 3
B. r = 2
C. r = 3 2
D. r = 3 2 2
Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng P : x − y + 2 z + 1 = 0 , Q : 2 x + y + z − 1 = 0 Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. r = 3 .
B. r = 2 .
C. r = 3 2 .
D. r = 3 2 2 .
Đáp án D.
Gọi I a ; 0 ; 0 là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R.
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là d 1 = a + 1 6 , d 2 = 2 a + 1 6
Theo giả thiết, ta có:
R 2 = d 1 2 + 2 2 = d 2 2 + r 2 ⇔ a + 1 2 6 + 4 = 2 a − 1 2 6 + r 2 ⇔ a 2 + 2 a + 25 = 4 a 2 − 4 a + 1 + 6 r 2 ⇔ 3 a 2 − 6 a + 6 r 2 − 24 = 0 *
Yêu cầu bài toán (*) có nghiệm duy nhất
⇔ Δ ' = − 3 2 − 3 6 r 2 − 24 = 0 ⇔ r = 3 2 2 .
