Nếu \(n=0\) thì \(5^0-1=1-1=0⋮4\)

Nếu \(n=1\) thì \(5^1-1=5-1=4⋮4\)

Nếu \(n\ge2\) thì 2 số tận cùng khi lũy thừa với cơ số 5 luôn là 25.

\(\Rightarrow5^n-1=\left(...25\right)-1=\left(...24\right)⋮4\)(đpcm)

2 Số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4.

a) 101ⁿ⁺¹-101ⁿ=101ⁿ.101-101ⁿ=101ⁿ(101-1)=100.101ⁿ chia hết cho 100

c) n²(n-1)-2n(n-1)=(n²-2n)(n-1)=n(n-1)(n-2)

vì n, (n-1), (n-2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

Mà(2, 3) = 1 

⇒n(n-1)(n-2) chia hết cho 2.3 = 6

phần b mik ko giải đc 

a) Ta có: \(101^{n+1}-101^n\)

\(=101^n\left(101-1\right)\)

\(=100\cdot101^n⋮100\)

b) Ta có: \(25^{n+1}-25^n\)

\(=25^n\left(25-1\right)\)

\(=25^{n-1}\cdot24⋮100\)

tích 3 số trên là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> có ít hất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết 3

=> 2.3=6

=> tích trên chia hết cho 6

\(n^3+n+2=n^3+n^2-n^2+1+n+1\)

\(=n^2\left(n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n+1\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Do \(n\in N\)*\(\Rightarrow n\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1\ge2\\n^2-n+2\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\) có ít nhất 3 ước số \(\Rightarrow\) là hợp số

 Ta xét hai khả năng:

a. Nếu \(n⋮3\)thì rõ ràng \(\left(n^3+2n\right)⋮3.\)

b. Nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k \(\in N\).

*Với \(\text{n = 3k+ 1:}\left(n^3+2n\right)=\left(3k+1\right)^3+2\left(3k+1\right).\)

\(=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=3\left(9k^3+9k^2+5k+1\right)⋮3.\)

*Với \(n=3k+2:n^3+2n=\left(3k+2\right)^3+2\left(3k+2\right).\)

\(=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4=3\left(9k^3+18k^2+14k+4\right)⋮3.\)

Mệnh đề được chứng minh.

P/s: không chắc lắm:)

TA Thấy:

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì \(n^3-n\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n^3-n\right)⋮3\)

Mà \(3n⋮3\)

do đó \(\left(n^3-n+3n\right)⋮3\)

Hay \(n^3+2n⋮3\left(ĐPCM\right)\)

Chứng minh bằng quy nặp toán học:

1. \(n=1\Rightarrow n^3+2n=1+2.1=3\), vậy mệnh đề đúng với n = 1.

2. Giả sử mệnh đề đúng với k, nghĩa là ta có: \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh:

\([\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)

Ta có: \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2\)

                                                         \(=\left(k^3+2k\right)+3\left(k^2+k+1\right),k\in N.\)

Nhưng \(\left(k^3+2k\right)⋮3\)(theo giả thiết quy nạp); \(3\left(k^2+k+1\right)⋮3\)

Vậy \(\left(k+1\right)^3+2\left(k+1\right)]⋮3.\)Vậy mệnh đề trên đúng với mọi \(n\in N.\)

n³-n

= n(n²-1)

= n(n²-1²)

= n(n-1)(n+1)

ta có tích trên là  tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, mà tích 2 stn liên tiếp chia hết cho 2, tích 3 stn liên tiếp chia hết cho 3 => tích này chia hết cho 6 ( vì 2.3=6)

Cm: \(\forall\)\(x\in\) N ta có: (n + 45).(4n² -1) ⋮ 3

Trong biểu thức không hề chứa \(x\) em nhá

Biểu thức chứa \(x\) là biểu thức nào thế em?

Bài này em nghĩ là phải sửa thành với mọi \(n\inℕ\) ạ.

Đặt \(P=\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)\)

Với \(n⋮3\) thì hiển nhiên \(n+45⋮3\), suy ra \(P⋮3\) 

Với \(n⋮̸3\) thì \(n^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(4n^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(4n^2-1⋮3\), suy ra \(P⋮3\)

Vậy, với mọi \(n\inℕ\) thì \(\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)⋮3\) (đpcm)