Đáp án A

Đặt Từ giả thiết

Tìm GTNN của hàm số

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4

Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương  nên xy-7>0.

Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)

Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)

Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :

\(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)

\(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)

             \(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)

Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)

Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)

Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2

\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)

Tại sao từ:\(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\)  lại => đc: \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\)??????????

\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)

\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Trước hết áp dụng BĐT: \(ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{y}+1\right)^2\)

Mà \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\ge4^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)

Lại áp dụng tiếp: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)

Bình phương lên: \(2\left(x+y\right)\ge4\Rightarrow x+y\ge2\)

Phần cuối chắc là hoàn toàn cơ bản rồi