Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều. Tính bán
kính mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.
Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.
A. R = a 2
B. R = a 7 12
C. R = a 3
D. R = a 3 4
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. 7 3 π a 2
B. 8 3 π a 2
C. 5 3 π a 2
D. π a 2
Đáp án A
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của hình chóp
+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.
+ Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là S = 4 π R2
Cách giải:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. 7 3 π a 2
B. 8 3 π a 2
C. 5 3 π a 2
D. π a 2
Chọn A.
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của hình chóp
+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.
+ Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là S = 4 π R 2
Cách giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB; CD .
Kẻ SH ⊥ MN tại H .
Ta có SN ⊥ DC ; MN ⊥ DC
⇒ DC ⊥ ( SMN )
⇒ DC ⊥ SH
Mà SH ⊥ MN
⇒ SH ⊥ (ABCD).
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:
Vì tam giác SDC vuông cân tại S có cạnh huyền CD = a
⇒ SN= a 2
Vì tam giác ABS đều cạnh a
⇒ SM = a 3 2
Xét tam giác SNM có:
⇒ △ S M N vuông tại S.
Suy ra:
Nhận thấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .
Kẻ tia Oy / /SH , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD nằm trên đường thẳng Oy.
Trên tia OM ta lấy K sao cho OK = OA = a 2 2 , khi đó K ∈ (O; OA)
Trong mặt phẳng (SMN ), lấy E là trung điểm SK , kẻ EI là đường trung trực của SK (I ∈ Oy).
Khi đó:
IK = IS = IA = IB = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và bán kính là R = IK.
Kẻ SF ⊥ Oy
Gắn hệ trục Oxy với OM ≡ Ox; Oy / /SH
Đặt I ( 0 , y o )
Xét tam giác vuông ISF có:
Xét tam giác vuông OIK có:
Vì
Suy ra bán kính mặt cầu:
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.
A. a 12 12
B. a 2
C. a 2 2
D. a 21 6
Đáp án D
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AS B = 120 ° . Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.
A. 2 a 2
B. 21 3 a
C. a 2
D. Kết quả khác
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hính vuông ABCD và H là tâm của đường tròn ngoại tiếp Δ S A B . Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với (ABCD). Từ H kẻ đường thẳng H vuông góc với (SAB).
Ta có d ∩ Δ = I ⇒ I A = I B = I C = IS ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S . A B C D ⇒ R = I A = O I 2 + O A 2 .
Mà O I = H M = H B 2 − M B 2 với M là trung điểm của AB.
Xét Δ S A B cân tại S, có A B sin A S B ^ = 2 r
⇒ H B = r = 2 a 2. sin 120 0 = 2 a 3 .
Khi đó O I = 2 a 3 2 − a 2 = a 3 ⇒ R = a 3 2 + a 2 2 = a 21 3 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, A S B = 120 O Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.
A. 2 a 2
B. 21 a 3
C. a 2
D. Kết quả khác
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB vuông cân tại S, tam giác SCD đều thì thể tích khối S.ABCD là:
A. 4 a 3 3 3
B. 4 a 3 3
C. 2 a 3 3
D. 2 a 3 3 3
Cho hình chóp S . A B C D có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng ( S A B ) , ( S B C ) , ( S C D ) , ( S D A ) với mặt đáy lần lượt là 90 ° , 60 ° , 60 ° , 60 ° . Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S , A B = a và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S . A B C D ?
A. V = a 3 3 4
B. V = a 3 3
C. V = 2 a 3 3 9
D. V = a 3 3 9
Đáp án D.
Gọi H là trung điểm của AB thì S H ⊥ A B C D ⇒ S H = a 2 .
Khoảng cách từ H đến BC, CD, DA đều là a 2 3 ⇒ S A B C D = 1 2 . a 2 3 . 9 a − a = 2 a 2 3 .
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . a 2 . 2 a 2 3 = a 3 3 9 .