a) x(x² + x) + x(x + 1)

= x²(x + 1) + x(x + 1)

= (x + 1)(x² + x)

= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)

b) xy² - yx² + xy

= xy(y - x + 1) ⋮ xy

Bài 1:

x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x⁴-1+y⁴+1)

=xy(x⁴-1)-xy(y⁴-1)=xy(x²-1)(x²+1)-xy(y²-1)(y²+1)

=xy(x-1)(x+1)(x²+1)-xy(y-1)(y+1)(y²-1)

Mà:xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết 2;3;5

=>xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết cho 30

Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y²+1) chia hết cho 30

Nên x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30

Bài 2:

       x²+y²+z²=y(x+z)

<=>x²+y²+z²-yx-yz=0

<=>2x²+2y²+2z²-2yx-2yz=0

<=>(x – y)² + (y – z)² + x² + z² = 0

<=>x – y = y – z = x = z = 0

<=>x=y=z=0

https://phatman80.violet.vn/present/de-thi-hsg-toan8-lang-son-2011-2012-7891796.html

b: \(C=xy\left(x^3+2\right)-y\left(xy^3+2x\right)\)

\(=x^4y+2xy-xy^4-2xy\)

\(=xy\left(x^3-y^3\right)\)

\(=xy\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)⋮x^2+xy+y^2\)

Ta có: x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x²-y²)(x²+y²)

                                        =xy(x-y)(x+y)(x²+y²)

Ta cần cm bt trên chia hết cho 2,3 và 5

Nếu x,y cùng tính chẵn lẻ thì x-y chẵn=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2   (1)

Nếu x,y không cùng tính chẵn lẻ thi x+y chẵn=>2   (2)

Từ (1) và (2)=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2 với mọi x,y nguyên (13)

Nếu x hoặc y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3  (3)

Nếu x và y chia 3 có cùng số dư thì x-y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 (4)

Nếu x,y chia 3 không cùng số dư thi x+y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3   (5)

Từ (3),(4) và (5)=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 với mọi x,y nguyên  (14)

Nếu x hoặc y chia hết cho 5 thì x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (6)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 2 và ngược lại thì x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (7)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 3 

và ngược lại thì x+y  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (8)

Nếu x chia 5 dư 3, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì 

x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (9)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x+y chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (10)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 3 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (11)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (12)

Từ (6),(7),(8),(9),(10),(11)và (12)

=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5 với mọi x,y nguyên (15)

Từ (13),(14) và (15) Mà (3;4;5)=1

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30 với mọi x,y nguyên

=>đpcm

\(x^3y^2-3x^2y+2y=x^3y^2-x^2y-2x^2y+2y\\ =x^2y\left(xy-1\right)-2y\left(xy-1\right)=\left(xy-1\right)\left(x^2-2y\right)⋮\left(xy-1\right)\)

bbbbbbbbb

ccccccccc