Đáp án B

Đáp án B

Gọi L là điểm thỏa mãn A P ¯ = 3 P L ¯ và Q là trung điểm B ' C ' thì cosin cần tìm là

Dùng phương pháp tọa độ hóa.

Đặt hệ trục tọa độ, ở đây như thầy đã trình bày ta nên chọn gốc tại P trục Ox, Oy là PA và PC.

Gọi α góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C' ) và (MNP)

Khi đó cos α = n 1 → . n 2 → n 1 → . n 2 → = 13 65

Đáp án cần chọn là B

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm A'A, BC và MN

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||B'C'\\DN||AB'\end{matrix}\right.\) (đường trung bình tam giác) \(\Rightarrow\left(AB'C'\right)||\left(DNM\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (AB'C') bằng góc giữa (DNM) và (BCMN)

\(MN\perp A'F\) (A'MN là tam giác đều), và \(A'A\perp\left(A'B'C'\right)\Rightarrow A'A\perp MN\)

\(\Rightarrow MN\perp\left(A'AEF\right)\) \(\Rightarrow\)  góc giữa (DNM) và (BCMN) là \(\widehat{DFE}\) nếu nó là góc nhọn và \(180^0-\widehat{DFE}\) nếu nó là góc tù

\(MN=\dfrac{1}{2}B'C'=\sqrt{3}\Rightarrow A'F=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow DF=\sqrt{A'F^2+A'D^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

\(AE=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}\)

Gọi G là trung điểm AE \(\Rightarrow FG\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FG=A'A=2\\GE=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(EF=\sqrt{FG^2+EG^2}=\dfrac{5}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos:

\(cos\widehat{DFE}=\dfrac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF.EF}=...\Rightarrow\widehat{DFE}=...\)

M,N lần lượt là trung điểm BC,A'B

Đáp án B

Đáp án B.

Dễ thấy:

A B ' C ' ; M N P ^ = A B ' C ' ; M N C B ^

= 180 0 − A B ' C ' ; A ' B ' C ' ^ − M N B C ; A ' B ' C ' ^ = 180 0 − A ' B C ; A B C ^ − M N B C ; A B C . ^

Ta có:

M N B C ; A B C ^ = A ' P ; A P ^ = A ' P A ^ = arctan 2 3 .

Và

M N B C ; A B C ^ = S P ; A P ^ = S P A ^ = arctan 4 3 ,  

với S là điểm đối xứng với A qua A’,

thì S A = 2 A A ' = 4.

Suy ra 

cos A B ' C ' ; M N P ^ = c os 180 0 -arctan 2 3 − arctan 4 3 = 13 65 .