a: Xet ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là đường cao

BC=12cm nên BM=6cm

=>AM=8(cm)

c: I cách đều ba cạnh nên I là giao điểm của ba đường phân giác

=>AI là phân giác của góc BAC

mà AM là phân giác của góc BC

nên A,I,M thẳng hàng

Có \(AM^2=\dfrac{2\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}=\dfrac{2\left(a^2+a^2\right)-a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}\)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\)

Vì \(\Delta\) ABC đều mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow\) AM là đường cao của \(\Delta\) ABC\(\Rightarrow\)AM\(\perp\)BC

Theo giả thiết BC = a \(\Rightarrow\)\(AM =\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AMB có:

\(AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}\)

\(\Rightarrow\)\(AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}\)

\(\Rightarrow\)\(AM^{2}=a^{2}-\dfrac{a}{2}^{2}\)

\(\Rightarrow\)\(AM=\dfrac{\sqrt{3a}^{}}{2}\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI})\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MI}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\frac{-\overrightarrow{AM}}{2}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}.\overrightarrow{BC}=\frac{BC^2-AM^2}{2}\)

\(=\frac{BC^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}BC)^2}{2}=\frac{BC^2}{8}=\frac{9a^2}{8}\)

Đáp án B