Chọn B.

Vì đường tròn (C) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A và B nên tọa độ điểm A và B là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi H là trung điểm của AB suy ra IH ⊥ AB ⇒ IH ⊥ Δ.

Xét tam giác AIH vuông tại H ta có:

A H 2  + I H 2  = A I 2  ⇒ A H 2  = A I 2  - I H 2

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=3\)

\(MN=6=2R\Rightarrow MN\) là đường kính

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d là đường thẳng IA

\(\overrightarrow{IA}=\left(3;3\right)=3\left(1;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng d nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Gọi \(M=\left(m;m+5\right)\left(m\in\right)R\) là điểm cần tìm.

\(\Rightarrow IM=\sqrt{2m^2+32}\)

Ta có: \(cos\left(AM;IM\right)=cos45^o\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{R}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{2m^2+32}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1D; 2D; 3D

a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) bằng -1).

b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.

c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {11} \).

Đường tròn (C) tâm O(0;0) bán kính R=1

Phương trình đường thẳng IO có dạng: \(y=x\)

Do A;B là giao điểm của 2 đường tròn \(\Rightarrow AB\perp IO\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\in OI\) ; \(AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Do H thuộc OI nên tọa độ có dạng: \(H\left(x;x\right)\Rightarrow OH=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}H\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\\H\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đường thẳng AB qua H và vuông góc OI nên nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vtpt có dạng:

\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\\1\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y+\dfrac{1}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(PT\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-7\right)^2=85\)

\(\Rightarrow\) Tâm \(I\left(-1;7\right)\) và bán kính là \(\sqrt{85}\)

PT tiếp tuyến qua \(M\left(1;-2\right)\Rightarrow x_0=1,y_0=-2\)

\(PT\) tiếp tuyến có dạng \(\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-1-1\right)\left(x-1\right)+\left(7+2\right)\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)+9\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+2+9y+18=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+9y+20=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;0\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Do tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)

Lại có \(IB=IC=R\)

\(\Rightarrow AI\) là trung trực BC \(\Rightarrow AI\) đồng thời là phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{IAB}=45^0\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right)\), do B thuộc đường tròn, gọi tọa độ B có dạng: \(B\left(x;y\right)\) với \(x^2+y^2-2x-9=0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(x;y-1\right)\)

\(cos\widehat{IAB}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left|1.x-1\left(y-1\right)\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+y^2-2y+1}=\left|x-y+1\right|\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+y^2+1-2xy+2x-2y\)

\(\Rightarrow x-xy=0\Rightarrow x\left(1-y\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3\\y=1\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow x=\left\{4;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa đô các điểm B;C tương ứng là: \(\left[{}\begin{matrix}\left(0;3\right);\left(-2;1\right)\\\left(0;-3\right);\left(4;1\right)\end{matrix}\right.\)

Đáp án C