Chọn C.

a) \(x = \frac{{{y^2}}}{4} \Leftrightarrow {y^2} = 4x\)

Vậy dạng chính tắc của parabol là: \({y^2} = 4x\)

b) \(x - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = x\)

Vậy dạng chính tắc của parabol là: \({y^2} = x\)

Những phương trình chính tắc của parabol là: b), d)

`a)`

`@ O(0;0), A(1;1), B(-1;1) in (P)`

`@ C(0;2), D(-2;0) in (d)`

`b)` Ptr hoành độ của `(P)` và `(d)` là:

     `x^2=x+2`

`<=>x^2-x-2=0`

Ptr có: `a-b+c=1+1-2=0`

   `=>x_1=-1;x_2=-c/a=2`

  `=>y_1=1;y_2=4`

`=>(-1;1), (2;4)` là giao điểm của `(P)` và `(d)`

`c)` Vì `(d') //// (d)=>a=1` và `b ne 2`

Thay `a=1;M(2;5)` vào `(d')` có:

         `5=2+b<=>b=3` (t/m)

  `=>` Ptr đường thẳng `(d'): y=x+3`

Ta có \(y=x^4-4x^3+4x^2\Rightarrow4x^3-12x^2+8x\)

a. PTHD giao điểm của (C) và Parabol \(y=x^2\) :

\(x^4-4x^3+4x^2=x^2\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x+3\right)=0\)

                                \(\Leftrightarrow x=0;x=1;x=3\)

* \(x=0\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=0\)

* \(x=2\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=1\)

* \(x=3\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=24x-63\)

b. Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k \(\Rightarrow d:y=k\left(x-2\right)\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(2-x\right)^2x^2-k\left(x-2\right)\\4x\left(x-2\right)\left(x-1\right)=k\end{cases}\) có nghiệm

Thay k vào phương trình thứ nhất ta có :

\(x^4-4x^3+4x^2=\left(x-2\right)\left(4x^3-12x^2+8x\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x-4\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=0;x=2;x=\frac{4}{3}\)

* \(x=0\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)

* \(x=2\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)

a) Parabol: \(y = a{(x - h)^2} + k\) với \(I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) là tọa độ đỉnh.

\( \Rightarrow y = a{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\)

(P) đi qua \(A(1;2)\) nên \(2 = a{\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1\)

\( \Rightarrow y = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6\)

Vậy parabol đó là \(y = {x^2} - 5x + 6\)

b) Vẽ parabol \(y = {x^2} - 5x + 6\)

+ Đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\)

+ Giao với Oy tại điểm \((0;6)\)

+ Giao với Ox tại điểm \((3;0)\) và \((2;0)\)

+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{2}\). Điểm đối xứng với điểm \((0;6)\) qua trục đối xứng có tọa độ \((5;6)\)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)\)

c) \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\)

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có\(y \ge 0\) ứng với hoành độ \(x \in ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Do đó tập nghiệm của BPT \(f(x) \ge 0\) là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0\end{array}\)

Do đó \(x - 2\) và \(x - 3\) cùng dấu. Mà \(x - 2 > x - 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của BPT là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\)

a) Ta có: 

\(2p = \;\frac{5}{2} \Rightarrow p = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{8}\).

Tiêu điểm của parabol là: \(F\left( {\frac{5}{8};0} \right)\)

Phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{5}{8} = 0\)

b) Ta có:

\(2p = 2\sqrt 2  \Rightarrow p = \sqrt 2  \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Tiêu điểm của parabol là: \(F(\frac{{\sqrt 2 }}{2};0)\)

Phương trình đường chuẩn là: \(x + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0\)

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right) =  - 2{x_0} + 4\)

Vậy hàm số \(y =  - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' =  - 2x + 4\)

a) Ta có \(y'\left( 1 \right) =  - 2.1 + 4 = 2\)

Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)

b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)

+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) =  - 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

\(y =  - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y =  - 4x + 16\)

Ta có:

 \(y'=\left(-2x^2\right)'=-4x\Rightarrow y'\left(-1\right)=-4\cdot\left(-1\right)=4\)

\(y_0=-2\cdot\left(-1\right)^2=-2\)

Phương trình tiếp tuyến là: \(y=4\left(x+1\right)-2=4x+2\)