Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng a,b,c. Biết A =90° và a, ( 2 / 3 ) b , c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo góc B.
A. 30°
B. 45°
C. 15°
D. 60°
Cho tam giác ABC có A=90°, a, √6/3, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì
Cho tam giác ABC có ba góc với : \(cot\left(\widehat{\dfrac{A}{2}}\right);cot\dfrac{\widehat{B}}{2};cot\left(\widehat{\dfrac{C}{2}}\right)\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba cạnh tương ứng theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng
gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Ta có :\(cot\left(\dfrac{A}{2}\right)+cot\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cot\left(\dfrac{B}{2}\right)\) <=> \(\dfrac{cot\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}+\dfrac{cos\left(\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=\dfrac{2.cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{A}{2}\right)+cos\left(\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right).sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\) <=> \(\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(sin\left(\dfrac{B}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=\left[cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)-cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)\right]cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=>\(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)-sin\left(\dfrac{B}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)-\dfrac{1}{2}sinB\)
<=> sinB = \(\dfrac{1}{2}\left(sinA+sinC\right)\) <=> \(2sinB=sinA+sinC\)
<=> \(2.\dfrac{b}{2R}=\dfrac{a}{2R}+\dfrac{c}{2R}\)
<=> a+c =2b
=> 3 cạnh của tam giác tạo thành cấp số cộng.
Cho tam giác ABC có \(A=90^0\), còn a, b, \(\frac{\sqrt{6}}{3}\), c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tam giác ABC là tam giác có đặc điểm gì ?
Theo giả thiết ta có hệ : \(\begin{cases}A=90^0\\a,b,\frac{\sqrt{6}}{3},c\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2=b^2+c^2\\\frac{2}{3}b^2=ac\Leftrightarrow b^2=\frac{3}{2}ac\end{cases}\)
Từ đó suy ra \(a^2=\frac{3}{2}ac+c^2\Leftrightarrow2a^2=3ac+2c^2\Leftrightarrow\left(2a+c\right)\left(a-2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a=2c\left(2a+c>0\right)\)
Mà \(\cos B=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow B=60^0,C=30^0\)
Vậy tam giác ABC là tam giác nửa đều
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a; b; c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết tan A 2 tan C 2 = x y ( x ; y ∈ N ) , giá trị x + y là:
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Chọn A.
Ta có: a + c = 2b ⇔ sinA + sinC = 2sinB
Do đó x + y = 4.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết tan A 2 tan C 2 = x y ( x , y ∈ N ) , giá trị x + y là:
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Cho tam giác ABC, có 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng : \(\cot\frac{A}{2}.\cot\frac{C}{2}=3\)
Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)
Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)
<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)
Do đó (1) trở thành :
\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh
Cho tam giác ABC có \(\cot\frac{A}{2},\cot\frac{B}{2},\cot\frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c đó cũng lập thành cấp số cộng ?
Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)
Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Câu 1:
Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,..... Hiệu của 2 số hạng liên tiếp của dãy đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21,...7n. Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?
Câu 2:
Cho tam giác ABC, có 3 cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức P= cot\(\dfrac{A}{2}\). cot \(\dfrac{C}{2}\)
Câu 3:
Cho 2 cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng:4,7,10,13,16,... và 1,6,11,16,21,... Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả 2 cấp số trên?
Câu 1:
Dãy đã cho có thể viết dưới dạng công thức truy hồi sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+7n\end{matrix}\right.\)
\(u_{n+1}=u_n+7n\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{7}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{7}{2}\left(n+1\right)=u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n\)
Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)
\(\Rightarrow u_n-\dfrac{7}{2}n^2+\dfrac{7}{2}n=1\)
\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+1\)
\(\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n+1=35351\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{2}n^2-\dfrac{7}{2}n-35350=0\)
\(\Rightarrow n=101\)
Vậy đó là số hạng thứ 101
2.
Do a;b;c lập thành 1 cấp số cộng
\(\Rightarrow a+c=2b\)
\(\Leftrightarrow2R.sinA+2R.sinC=2.2R.sinB\)
\(\Leftrightarrow sinA+sinC=2sinB\)
\(\Leftrightarrow2sin\dfrac{A+C}{2}.cos\dfrac{A-C}{2}=4sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{A-C}{2}=2sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\dfrac{A-C}{2}=2sin\dfrac{B}{2}=2cos\dfrac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)+sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)-2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right).cos\left(\dfrac{C}{2}\right)=3sin\left(\dfrac{A}{2}\right).sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow cot\left(\dfrac{A}{2}\right).cot\left(\dfrac{C}{2}\right)=3\)
3.
Công thức số hạng tổng quát của dãy đầu: \(u_n=4+3\left(n-1\right)=3n+1\)
Với \(1\le n\le100\)
Công thức số hạng tổng quát của dãy sau: \(v_m=1+5\left(m-1\right)=5m-4\)
Với \(1\le m\le100\)
Các số hạng của 2 dãy trùng nhau khi:
\(3n+1=5m-4\)
\(\Leftrightarrow5m=3n+5\Leftrightarrow m=\dfrac{3n}{5}+1\)
\(\Rightarrow n⋮5\Rightarrow n=5k\)
Mà \(1\le n\le100\Rightarrow1\le5k\le100\Rightarrow1\le k\le20\)
\(\Rightarrow\) Hai dãy số có 20 số hạng trùng nhau
Vậy số số có mặt trong 2 dãy trên là: \(100+100-20=180\) số