Tiếp tuyến của parabol y = 4 - x 2 tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:
A. 25 2
B. 5 4
C. 5 2
D. 25 4
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{1}{2}.\)
Ta có: \(y'\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y=x^2\) tại điểm có hoàng độ \(x_0=\dfrac{1}{2}\) là k = 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(\left( P \right):y = - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\)
Ta có:
\(y'=\left(-2x^2\right)'=-4x\Rightarrow y'\left(-1\right)=-4\cdot\left(-1\right)=4\)
\(y_0=-2\cdot\left(-1\right)^2=-2\)
Phương trình tiếp tuyến là: \(y=4\left(x+1\right)-2=4x+2\)
Phương trình tiếp tuyến của Parabol y = 3 x 2 + x + 2 tại điểm M 1 ; 0 là:
A. y = − 5 x + 5
B. y = 5 x − 5
C. y = − 5 x − 5
D. y = 5 x − 4
Đáp án A
Ta có: y ' = − 6 x + 1 ⇒ y ' 1 = − 5.
Do đó phương trình tiếp tuyến của parabol tại M là y = − 5 x − 1 = − 5 x + 5.
Viết phương trình tiếp tuyến của:
a) Hypebol y = x + 1 x - 1 tại điểm A 2 ; 3 .
b) Đường cong y = x 3 + 4 x 2 – 1 tại điểm có hoành độ x 0 = - 1 .
c) Của parabol y = x 2 – 4 x + 4 tại điểm có tung độ y 0 = 1 .
Cho Parabol \(y=x^2\) . Tìm điểm A thuộc parabol sao cho tiếp tuyến với parabol tại A song song với đường thẳng y = 4x + 5
Gọi phương trình tiếp tuyến d tại A của parabol có dạng \(y=4x+b\) (\(b\ne5\))
Pt hoành độ giao điểm d và (P):
\(x^2=4x+b\Leftrightarrow x^2-4x-b=0\) (1)
d tiếp xúc (P) \(\Leftrightarrow\) (1) có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=4+b=0\Rightarrow b=-4\)
Hoành độ giao điểm: \(x=\frac{4}{2.1}=2\Rightarrow y=4\Rightarrow A\left(2;4\right)\)
Cho đường thẳng y = x2. Tìm điểm A thuộc parabol sao cho tiếp tuyến với parabol tại A song song với đường thẳng y = 4x+5
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 4x,\) biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1;\)
b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0.\)
Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right) = - 2{x_0} + 4\)
Vậy hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = - 2x + 4\)
a) Ta có \(y'\left( 1 \right) = - 2.1 + 4 = 2\)
Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)
b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)
+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)
+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) = - 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
\(y = - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y = - 4x + 16\)
Cho hàm số \(y=\left(2-x\right)^2x^2\) có đồ thị (C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm (C) với Parabol \(y=x^2\)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0)
Ta có \(y=x^4-4x^3+4x^2\Rightarrow4x^3-12x^2+8x\)
a. PTHD giao điểm của (C) và Parabol \(y=x^2\) :
\(x^4-4x^3+4x^2=x^2\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=0;x=1;x=3\)
* \(x=0\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=0\)
* \(x=2\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=1\)
* \(x=3\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=24x-63\)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k \(\Rightarrow d:y=k\left(x-2\right)\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(2-x\right)^2x^2-k\left(x-2\right)\\4x\left(x-2\right)\left(x-1\right)=k\end{cases}\) có nghiệm
Thay k vào phương trình thứ nhất ta có :
\(x^4-4x^3+4x^2=\left(x-2\right)\left(4x^3-12x^2+8x\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(3x-4\right)\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=0;x=2;x=\frac{4}{3}\)
* \(x=0\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)
* \(x=2\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)
* \(x=\frac{4}{3}\Rightarrow k=-\frac{32}{27}\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=-\frac{32}{27}x+\frac{64}{27}\)
Tiếp tuyến của parabol y = 4 - x 2 tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích tam giác vuông đó là
A. 25 2
B. 25 4
C. 5 2
D. 5 4
Chọn B
Ta có y’=-2x; y’(1)=-2. Phương trình tiếp tuyến của y = 4 - x 2 tại điểm (1,3) là
(d):y= -2(x-1)+3=-2x+5.
Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm A(5/2; 0) và cắt trục tung tại B(0;5).
Ta có: OA = 5/2; OB = 5
Diện tích tam giác OAB vuông tại O là