Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. GE cắt CD.
B. GE cắt AD.
C. GE, CD chéo nhau.
D. GE // CD
Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng:
A. GE//CD
B. GE và CD chéo nhau
C. GE cắt AD
D. GE cắt CD
Đáp án A
Xét tam giác HCD có:
⇒ EG // CD
Cho tứ diện ABCD Gọi G,E lần lượt là trọng tâm của tam giác A B D v à A B C . Mệnh đề nào dưới đây đúng:
A. G E v à CD chéo nhau
B. G E / / C D
C. GE và AD
D. GE cắt CD
Chọn B.
Gọi M là trung điểm của AB .
Có G là trọng tâm tam giác ABC nên G M D M = 1 3
Và E là trọng tâm tam giác ABC nên E M C M = 1 3
Áp dụng định lý Ta – lét có : G E // D C .
Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi G là giao điểm của AC và DM. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AM. Các đường thẳng GE và CD cắt nhau tại F. a) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABD. b) Chứng minh GC = 2GA. c) Kẻ đường thẳng qua G cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng EI // KF. d) Gọi N là trung điểm của AD. Chứng minh BF = 2EN.
a: Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔABD có
AO,DM là các đường trung tuyến
AO cắt DM tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABD
b: Xét ΔABD có
AO là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\dfrac{2}{3}\cdot AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)
Ta có: CG+GA=CA
=>\(GA+\dfrac{1}{3}AC=AC\)
=>\(GA=\dfrac{2}{3}AC\)
\(\dfrac{AG}{GA}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AC}{\dfrac{2}{3}AC}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}\)
=>GA=2AG
Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA = MD.
a) Chứng minh rằng AB song song và bằng CD
b) Gọi E là trọng tâm tam giác ADC và G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thằng DE cắt AC tại K và AE cắt CD tại I. Chứng tỏ rằng I là trung điểm CD và chứng minh 3 điểm B,G,K thẳng hàng
c) Chứng minh GE//AC
1. Cho tứ giác ABCD ( AD không song song BC) có E,F lần lượt là trung điểm AD, BC và EF=AB+CD/2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
2. Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của 2 cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM=góc MFB.
3. Cho tam giác ABC (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD=AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh góc BAC = 2.BMN
4. Cho tứ giác ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đồng quy.
5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC. Gọi A', B', C', G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d. Chứng minh GG'=AA'+BB'+CC'/3
Cho tam giác đều ABC. Gọi D là điểm bất kỳ trên AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E. Gọi G là trọng tâm tam giác ADE. a) Chứng minh GD = GE và GB = GC. b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh GIB d = 90◦
Cho △ABC, trung tuyến AD . Trên AD lấy 2 điểm I và G sao cho AI= IG= GD. Gọi E là trung điểm AC.
a) Chứng minh 3 điểm B,G,E thẳng hàng và so sánh BE với GE
b) CI cắt GE ở O. Chứng minh O là trọng tâm △AC và BE=9. OE
c) Trên BC lấy T sao cho BT= 2 TC. Kéo dài từ A đến C thêm 1 đoạn sao cho CD= CA. Chứng minh: T là trọng tâm △ABD
cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB, Gọi G là giao điểm của AC,DM. Lấy điểm E ∈ AM. Các đường thẳng GE,CD cắt nhau tại F
a, cm G là trọng tâm của ΔABD
b, cm GC=2GA
c, kẻ đường thẳng qua G cắt các cạnh AD,BC lần lượt tại I,K. Cm EI//KF
a: Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
XétΔABD có
DM,AO là các đường trung tuyến
DM cắt AO tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABD
b: XétΔABD có
G là trọng tâm
AO là đường trung tuyến
Do đó: \(GA=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)
GA+GC=AC
=>\(GC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)
=>\(GC=\dfrac{2}{3}AC\)
\(\dfrac{GC}{GA}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3}=2\)
=>GC=2GA
c: Xét ΔGAI và ΔGCK có
\(\widehat{GAI}=\widehat{GCK}\)(hai góc so le trong, AI//CK)
\(\widehat{AGI}=\widehat{CGK}\)
Do đó: ΔGAI đồng dạng với ΔGCK
=>\(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{GI}{GK}\)
=>\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{1}{2}\)(1)
Xét ΔAEG và ΔCFG có
\(\widehat{AEG}=\widehat{CFG}\)
\(\widehat{AGE}=\widehat{CGF}\)
Do đó: ΔAEG đồng dạng với ΔCFG
=>\(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)
Xét ΔGIE và ΔGKF có
\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)
\(\widehat{IGE}=\widehat{KGF}\)
Do đó: ΔGIE đồng dạng với ΔGKF
=>\(\widehat{GIE}=\widehat{GKF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên EI//FK
