Đáp án D

Chú ý: Em nhớ rằng, công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Còn với khối chóp tứ giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các khối chóp tam giác và áp dụng công thức.

Công thức giải nhanh:

Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy: Xét khối chóp  S . A 1 A 2 . . . . . A n  , mặt phẳng (P) song song với mặt đáy cắt cạnh S A 1 tại m thỏa mãn . Khi đó (P) chia khối chóp thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V' và khối đa diện ban đầu có thể tích V thì  V ' V = k 3

Nên  ⇒ V S . M N P Q V S . A B C D = 1 3 2 = 1 27

Trong (SAD) do \(\dfrac{SM}{SA}\ne\dfrac{SP}{SD}\left(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{3}{4}\right)\) nên MP không song song với AD

⇒ Giả sửa MP cắt AD tai E

⇒ E ∈ (ABCD)

Trong (ABCD) gọi K là giao điểm của EN và BC

Trong (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ SO ⊂ (SBD)

Gọi giao điểm của NK và AC là I

Trong (SAC) IM cắt SO tại H

Trong (SBD) DH cắt SB tại Q

⇒ Bla bla bla gì đó

⇒ Thiết diện cần tìm là ngũ giác MPNKQ

Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại \(N\).

Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P\).

Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(Q\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}MQ\parallel AD\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel \left( {ABCD} \right)\\MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\\MN,MQ \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2}\)

Ta có: \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {10^2} = 100\)

\(MN\parallel AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{4}{9}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{4}{9}.100 = \frac{{400}}{9}\)

Chọn A.

Xét tam giác SAC, ta có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OM//SC\)

Mà \(O\in BD\Rightarrow OM\in\left(MBD\right)\)

\(\Rightarrow SC//\left(MBD\right)\)

Khi nhìn thấy dữ kiện tỉ lệ đoạn thẳng và yêu cầu song song thì ta nên nghĩ đến định lý Talet đảo hoặc đường trung bình (chúng sẽ dẫn tới việc chứng minh được các đoạn thẳng song song)

Đáp án B

Chọn D.

nên AM là hình chiếu của SM lên (ABCD).

Do đó góc giữa SM và  (ABCD) là  S M A ^ = 60 o

Ta có 

Xét tam giác SAM vuông tại A, có 

Bài này ứng dụng 1 phần cách giải của bài này:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử mp (a) cắt SA; SB;SC; SD thứ tự tại A' B' C' D'. Tính \(\dfra... - Hoc24

Gọi O' là giao điểm của SO và MP, tương tự như bài trên, ta có 3 đường thẳng SO, MP, NQ đồng quy tại O'

Đồng thời sử dụng diện tích tam giác, ta cũng chứng minh được:

\(3=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{2SO}{SO'}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(3=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\ge2\sqrt{\dfrac{SB.SD}{SN.SQ}}\Rightarrow SN.SQ\ge\dfrac{4}{9}.SB.SD\)

Theo bổ đề về diện tích tam giác chứng minh ở đầu:

\(\dfrac{S_{SNQ}}{S_{SBD}}=\dfrac{SN.SQ}{SB.SD}\ge\dfrac{\dfrac{4}{9}SB.SD}{SB.SD}=\dfrac{4}{9}\)

\(\Rightarrow S_{SBD}\ge\dfrac{4}{9}.S_{SBD}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}\)

Ta có: \(\left( {MM'M''} \right)\parallel \left( {NN'N''} \right)\parallel \left( {ABC} \right)\) nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SM'}}{{SB}} \Leftrightarrow SM' = \frac{{SM.SB}}{{SA}} = \frac{{4.12}}{9} = \frac{{16}}{3}\)

\(\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{M'N'}} \Leftrightarrow M'N' = \frac{{MN.SB}}{{SA}} = \frac{{3.12}}{9} = 4\)

\(\frac{{SA}}{{SC}} = \frac{{MN}}{{M''N''}} \Leftrightarrow M''N'' = \frac{{MN.SC}}{{SA}} = \frac{{3.15}}{9} = 5\)

\(\frac{{SA}}{{SC}} = \frac{{NA}}{{N''C}} \Leftrightarrow N''C = \frac{{NA.SC}}{{SA}} = \frac{{2.15}}{9} = \frac{{10}}{3}\)