Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm M sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính của mặt cầu bằng:
A. 3
B. 9 2
C. 1
D. 3 2
⇔ M I 2 + 2 M I → . I A → + I A 2 − 9 M I 2 + 2 M I → . I B → + I B 2 = 0 ⇔ M I 2 + I A 2 − 9 M I 2 − 9 I B 2 + 2 M I → I A → − 9 I B → = 0 ⇔ − 8 M I 2 + I A 2 − 9 I B 2 = 0 ⇒ − 8 M I 2 + 9 2 2 − 9. 1 2 2 = 0 ⇔ − 8 M I 2 = − 18 ⇔ M I 2 = 9 4 ⇔ M I = 3 2
Vậy M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính M I = 3 2
Chọn: D
Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm sao cho M A = 3 M B là một mặt cầu. Bán kính của mặt cầu bằng
A. 3
B. 3 2
C. 9 2
D. 1
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(10;1;1), B(10;4;1) và C(10;1;5). Gọi S 1 là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 1; gọi S 2 là mặt cầu có tâm B, bán kính bằng 2 và S 3 là mặt cầu có tâm C, bán kính bằng 4. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu.
A.4.
B.7.
C.2.
D. 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z - 3 2 = 8 và hai điểm A(4;4;3), B(1;1;1). Tập hợp tất cả các điểm M thuộc (S) sao cho MA= 2MB là một đường tròn (C). Bán kính của (C) bằng
A. 7
B. 6
C. 2 2
D. 3
⇔ x 2 + y 2 + z - 3 2 = 8 x - 4 2 + y - 4 2 + z - 3 2 = 4 ( x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 )
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1),B(-2;1;-1). Tập hợp các điểm M trong không gian thoả mãn MB=2MA là một mặt cầu có bán kính bằng
A. 62 2
B. 78 2
C. 2 13 3
D. 13 3
Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm M sao cho MA = 3MB là một măt cầu. Tìm bán kính R của măt cầu đó
A. R = 3
B. R = 9 2
C. R = 1
D. R = 3 2
Chọn D
Gọi E, F là các điểm chia trong và chia ngoài của đoạn thẳng AB theo tỉ số 3, nghĩa là
Khi đó, E , F là chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc M của tam giác MAB. Suy ra:
Vậy M thuộc mặt cầu đường kính EF. Tính được EF = 3, suy ra R=3/2
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S2) có tâm J(2;1;5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S1) (S1) Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?
A. 8 3
B. 9
C. 8
D. 15
Đáp án B.
Lời giải sưu tầm :
Giả sử (P) tiếp xúc với (S1), (S2) lần lượt tại A,B
Gọi 
ta kiểm tra được J là trung điểm IM do 
suy ra M(2;1;9).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S 1 có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu S 2 có tâm J(2;1;5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu S 1 S 2 . Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M+m bằng?
A. 8 3
B. 9
C. 8
D. 15
Đáp án B
Giả sử (P) tiếp xúc với (S1), (S2) lần lượt tại A,B
Ta có:
Suy ra M + m = 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 , C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S 2 , S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 ?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Đáp án B
A B = A C = 13 , B C = 4 , d ( A , B C ) = 3 . Do R 1 = 2 R 2 = 2 R 3 nên các khoảng cách từ A đến (P) gấp đôi khoảng cách từ B,C đến (P). gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua B,C. và P,Q là điểm trên canh AB,AC sao cho A P = 2 B P , A Q = 2 Q C . Bài toán quy về tìm các mp (P) chính là các mặt phẳng đi qua MN,MQ,NP,PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH1: d ( A , P Q ) = 2 nên chỉ có duy nhất 1 mp (P) qua PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH2: d ( A ; M N ) , d ( A , M Q ) , d ( A ; N P ) đều lớn hơn 2 nên mỗi TH sẽ có 2 mp qua các cạnh MN,MQ,NP sao cho khoảng cách từ A đến nó bằng 2
Vậy có tất cả 7 mp thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;-1;1), C(-1;-1;1). Gọi S 1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính toán dựa vào điều kiện tiếp xúc
Lời giải:
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): ax+by+cz+d=0
suy ra mp(P)//BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
Mà B C → = ( - 4 ; 0 ; 0 ) và mp vuông góc với mp (Oyz) => (P) //BC
Với (P) //BC => a = 0 => by+cz+d=0
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn
