Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 , C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S 2 , S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 ?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Đáp án B
A B = A C = 13 , B C = 4 , d ( A , B C ) = 3 . Do R 1 = 2 R 2 = 2 R 3 nên các khoảng cách từ A đến (P) gấp đôi khoảng cách từ B,C đến (P). gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua B,C. và P,Q là điểm trên canh AB,AC sao cho A P = 2 B P , A Q = 2 Q C . Bài toán quy về tìm các mp (P) chính là các mặt phẳng đi qua MN,MQ,NP,PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH1: d ( A , P Q ) = 2 nên chỉ có duy nhất 1 mp (P) qua PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH2: d ( A ; M N ) , d ( A , M Q ) , d ( A ; N P ) đều lớn hơn 2 nên mỗi TH sẽ có 2 mp qua các cạnh MN,MQ,NP sao cho khoảng cách từ A đến nó bằng 2
Vậy có tất cả 7 mp thỏa mãn yêu cầu