a) \(g'\left( x \right) = y' = {\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

b) \(g'\left( x \right) =  - 2{\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\\{\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\\...\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\end{array}\)

a. \(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)}\)

b. \(y'=\dfrac{5}{\left(1-3x\right)^2}\)

c. \(y=\dfrac{\left(x+1\right)^2+1}{x+1}=x+1+\dfrac{1}{x+1}\Rightarrow y'=1-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}\)

d. \(y'=\dfrac{4x\left(x^2-2x-3\right)-2x^2\left(2x-2\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^2}=\dfrac{-4x^2-12x}{\left(x^2-2x-3\right)^2}\)

e. \(y'=1+\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2x+3}{\left(x-1\right)^2}\)

g. \(y'=\dfrac{\left(4x-4\right)\left(2x+1\right)-2\left(2x^2-4x+5\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{4x^2+4x-14}{\left(2x+1\right)^2}\)

2.

a. \(y'=4\left(x^2+x+1\right)^3.\left(x^2+x+1\right)'=4\left(x^2+x+1\right)^3\left(2x+1\right)\)

b. \(y'=5\left(1-2x^2\right)^4.\left(1-2x^2\right)'=-20x\left(1-2x^2\right)^4\)

c. \(y'=3\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2.\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)'=3\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2.\left(\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\right)=\dfrac{-9\left(2x+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}\)

d. \(y'=\dfrac{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)^6}=\dfrac{-x^2-6x-5}{\left(x-1\right)^4}\)

e. \(y'=-\dfrac{\left[\left(x^2-2x+5\right)^2\right]'}{\left(x^2-2x+5\right)^4}=-\dfrac{2\left(x^2-2x+5\right)\left(2x-2\right)}{\left(x^2-2x+5\right)^4}=-\dfrac{4\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x+5\right)^3}\)

f. \(y'=4\left(3-2x^2\right)^3.\left(3-2x^2\right)'=-16x\left(3-2x^2\right)^3\)

\(a,y'=\left(x^3-4x^2+5\right)'=3x^2-8x\\ b,y''=\left(3x^2-8x\right)'=6x-8\)

Đáp án là A 

Đáp án B

Ta có

.

.

Hình bên dưới là đồ thị của hàm số và .

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số và cắt nhau tại 2 điểm phân biệt, đồng thời khi hoặc , khi .

Do đó đổi dấu qua , .

Vậy hàm số g(x) có hai điểm cực trị.

1. \(y'=3x^2\sqrt{x}+\dfrac{x^3-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{7x^3-5}{2\sqrt{x}}\)

2. \(y'=3x^5+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

3. \(y'=2-\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2}\)

g: \(y=ln\left(x^2+x+1\right)\)

=>\(y'=\dfrac{\left(x^2+x+1\right)'}{x^2+x+1}=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\)

l: \(y=\dfrac{lnx}{x+1}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(lnx\right)'\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)'\left(lnx\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

=>\(y'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\left(x+1\right)-lnx}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{\dfrac{\left(x+1\right)}{x}-lnx}{\left(x+1\right)^2}\)

Ta có 

Bảng biến thiên của hàm số y= g( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3: + ∞)  hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -3) .

Hàm số có 3 cực trị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= ±3

Vậy có 3 khẳng định đúng là khẳng định I, II, IV

Chọn C.

Đáp án B