14: Cho tam giác ABC nhọn nôi tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF đồng
qui tại H. gọi M là trung điểm của BC, P là
giao của EF với BC. Gọi K là giao của AP
với (O).
1) Chứng minh tứ giác AKHE nội tiếp
2) Chứng minh tứ giác AMDK nội tiếp
3) Chứng minh M,H,K thẳng hàng.
4) Chứng minh PH vuông góc với AM.
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABD nhọn (AB<;AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Kẻ đường kính AQ. Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của AD với (O), K là giao của EF với BC và P là giao điểm của KA với (O). 1/ Chứng minh 5 điểm P; A; E; H; F nội tiếp và xác định tâm T của nó
2/ Chứng minh EM và FM là tiếp tuyến của (T).
3/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua M
Xem chi tiết
1/ Ta có:
• Góc AHB bằng 90 độ (vì AD là đường cao của tam giác ABD).
• Góc AEB bằng góc AFB bằng 90 độ (vì AB là đường cao của tam giác AFB và AC là đường cao của tam giác AEC).
Góc AHE bằng góc AFE (vì đường cao AH đồng quy với đường chéo EF của tứ giác AHEF).
• Góc AHP bằng góc AKP bằng 90 độ (vì KA là đường đường kính của đường tròn (O)).
• Góc AEP bằng góc AFP (vì đường cao AE đồng quy với đường chéo AF của tứ giác AEPF).
Do đó, ta có thể kết luận rằng 5 điểm P, A, E, H, F nằm trên cùng một đường tròn. Để xác định tâm T của đường tròn này, ta lấy hai đường kính của đường tròn là AP và EF, sau đó kẻ đường thẳng qua giữa chúng. Đường thẳng này cắt đường tròn tại T, là tâm của đường tròn.
2/ Ta có:
• Góc AHE bằng góc AFE (vì đường cao AH đồng quy với đường chéo EF của tứ giác AHEF).
• Góc EHF bằng 90 độ (vì EF là đường cao của tam giác EHF).
o Góc FHE bằng góc FEM (vì đường cao FH đồng quy với đường chéo EM của tứ giác FHEM).
Do đó, ta có thể kết luận rằng EM và FM là hai tiếp tuyến của đường tròn (T).
3/ Ta cần chứng minh rằng tam giác DEF nội tiếp đường tròn (M). Ta có:
• Góc EHF bằng 90 độ (vì EF là đường cao của tam giác EHF).
• Góc FEM bằng góc FHE (vì đường cao FH đồng quy với đường chéo EM của tứ giác FHEM). • Góc FHE bằng góc DAE
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF.
1. Chứng minh rằng KB.KC KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
2. Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh FP FQ.
3. Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM.
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF. 1. Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. 2. Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh FP = FQ. 3. Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) , 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H, gọi K là giao điểm của AO với (O;R) 1) Chứng minh: tứ giác BEDC nội tiếp2) Chứng minh: góc ABC góc ADE 3) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: 3 điểm H, M, K thẳng hàng4) Giả sử góc ACB 60 độ. Chứng minh tam giác HOC cân5) Khoảng cách từ A đến H gấp 2 lần khoảng cách từ O đến BC6) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: 3 điểm H,G,O thẳng hàng và HG 2GO7) AH cắt (O) tại F. Chứng minh: H và F đối xứ...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) , 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H, gọi K là giao điểm của AO với (O;R)
1) Chứng minh: tứ giác BEDC nội tiếp
2) Chứng minh: góc ABC= góc ADE
3) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: 3 điểm H, M, K thẳng hàng
4) Giả sử góc ACB = 60 độ. Chứng minh tam giác HOC cân
5) Khoảng cách từ A đến H gấp 2 lần khoảng cách từ O đến BC
6) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: 3 điểm H,G,O thẳng hàng và HG = 2GO
7) AH cắt (O) tại F. Chứng minh: H và F đối xứng nhau qua BC
8) Chứng minh: tứ giác BCKF là hình thang cân
9) Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của BD và CE với (O). Chứng minh: PQ song song với DE
Giúp mình với T-T
1: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
2: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc BAD chung
Do đó:ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay AD/AB=AE/AC
Xét ΔADE và ΔABC có
AD/AB=AE/AC
góc DAE chung
Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔABC
hay \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$ và $AFDC$ nội tiếp.
b) Vẽ đường kính $AA$ của đường tròn $(O)$ cắt $EF$ tại $Q$, $CF$ tại $N$, $BC$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $CEQA$ nội tiếp.
c) Gọi $M$ là giao điểm của $EF$ với $AD$. Chứng minh các điểm $M$, $P$, $Q$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.
d) Gọi $R$ là giao điểm của $AC$ với $AD$. Chứng minh tứ giác $HRAN$ nội tiếp.
Đọc tiếp
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$ và $AFDC$ nội tiếp.
b) Vẽ đường kính $AA'$ của đường tròn $(O)$ cắt $EF$ tại $Q$, $CF$ tại $N$, $BC$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $CEQA'$ nội tiếp.
c) Gọi $M$ là giao điểm của $EF$ với $AD$. Chứng minh các điểm $M$, $P$, $Q$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.
d) Gọi $R$ là giao điểm của $A'C$ với $AD$. Chứng minh tứ giác $HRA'N$ nội tiếp.
a) theo gt, BFC=BEC=90
=> BFEC nội tiếp (có 2 góc kề bang nhau)
góc AFC=ADC=90 => AFDC nội tiếp ( có 2 cạnh kề cùng nhìn một đoan thẳng bằng nhau)
b) vì tứ giác ABA'C nội tiếp => ABC = AA'C (cùng chắn cung AC)
Lại có ABC= AHF (Cùng phụ với góc BAD)
Ta thấy AFHE nội tiếp vì AFH +AEH = 90+90=180
=> AHF=AEF (Cùng chắn cung AF)
=>Đpcm
c) vì tứ giác EQA'C nôi tiếp
nên EQA'+ECA'=180 mà ECA'=90 vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=> MQP=EQA'=90 ( vì MQP+EQA=180)
Trong đó ADC=90 =>Đpcm
d) Vì ABA'C VÀ FBDH nội tiếp nên góc NA'C=ABC=DHC
=>NA'C=DHC=>Đpcm
1 tháng 3 2023 lúc 21:18
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại P. Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của D lên cạnh AB và AC.1/ chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp2/ chứng minh HG // EF
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại P. Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của D lên cạnh AB và AC.
1/ chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
2/ chứng minh HG // EF
1: Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
2: ΔADB vuông tại D có DG vuông góc AB
nên AG*AB=AD^2
ΔADC vuông tại D
mà DH là đường cao
nên AH*AC=AD^2=AG*AB
=>AH/AB=AG/AC
=>ΔAHG đồng dạng với ΔABC
=>góc AGH=góc ACB=goc AFE
=>HG//FE
Đúng 0
Bình luận (0)
3 tháng 3 2023 lúc 23:31
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, AH cắt EF tại K. Gọi I là trung điểm AH
1) Gọi M là trung điểm BC, kẻ đường kính AP. Chứng minh M là trung điểm của HP.
2) Chứng minh BH/BA + CH/CA = EF/KA.
3) Gọi S là giao điểm của hai đường thắng OI và MK. Chứng minh AS song song với BC.
1: góc ABP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>BP//CH
góc ACP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>CP//BH
mà BP//CH
nên BHCP là hình bình hành
=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HP
Đúng 1
Bình luận (0)
15 tháng 6 2021 lúc 18:34
Nhanh với ạCho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.Chứng minh tứ giác BFECnội tiếpTia AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AC AK. AD;Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn, chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
Đọc tiếp
Nhanh với ạ
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.Chứng minh tứ giác BFECnội tiếpTia AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AC = AK. AD;Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn, chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Gọi G là giao điểm của FC và AK.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FBC với cát tuyến A, G, K ta có:
\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{KB}{KC}.\dfrac{GC}{GF}=1\Rightarrow\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{AB}{AF}\). (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB với cát tuyến K, E, F ta có:
\(\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{FB}{FA}=1\Rightarrow\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (2)
Từ (1), (2) có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AB}{FB}\). (*)
Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với cát tuyến B, H, E ta có:
\(\dfrac{HC}{HF}.\dfrac{BF}{BA}.\dfrac{EA}{EC}=1\Rightarrow\dfrac{HC}{HF}=\dfrac{AB}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (**)
Từ (*), (**) ta có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{HC}{HF}\Rightarrow\dfrac{AC}{MF}=\dfrac{AC}{NF}\Rightarrow FM=FN\).
Đúng 2
Bình luận (0)
