Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF

 

Answer 1

Gọi G là giao điểm của FC và AK.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FBC với cát tuyến A, G, K ta có:

\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{KB}{KC}.\dfrac{GC}{GF}=1\Rightarrow\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{AB}{AF}\). (1)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB với cát tuyến K, E, F ta  có:

\(\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{FB}{FA}=1\Rightarrow\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (2)

Từ (1), (2) có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AB}{FB}\). (*)

Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với cát tuyến B, H, E ta có:

\(\dfrac{HC}{HF}.\dfrac{BF}{BA}.\dfrac{EA}{EC}=1\Rightarrow\dfrac{HC}{HF}=\dfrac{AB}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (**)

Từ (*), (**) ta có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{HC}{HF}\Rightarrow\dfrac{AC}{MF}=\dfrac{AC}{NF}\Rightarrow FM=FN\).

 

Answer 2