Đáp án D

Phương pháp:

- Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '.

- Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '.

- Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '.

- Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích

Đáp án D

Kẻ CM vuông góc với B’D’; MJ vuông góc với BD; JK vuông góc với CM. Chứng minh khoảng cách giữa BD và CD’ bằng độ dài đoạn JK.

Thật vậy, ta có

Chọn C

Kẻ CM vuông góc với B’D’; MJ vuông góc với BD; JK vuông góc với CM. Chứng minh khoảng cách giữa BD và CD’ bằng độ dài đoạn JK.

Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN

Ta có: S D ' MN = S A ' B ' C ' D ' - S D ' A ' M + S D ' C ' N + S B ' MN

Thể tích khối chóp

Từ đó suy ra tỷ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng 1/8

Đáp án D

Do đó 

Tứ diện DACD’ vuông tại D nên ta có:

Đáp án C.

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là A B = x , A D = y , A A ' = z . Trong đó  x , y , z > 0   . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C  bằng 2 a 5 5 .

Ta có

A B / / C D C D ⊂ A ' B ' C D A B ⊄ A ' B ' C D ⇒ A B / / A ' B ' C D ⇒ d A B ; B ' C = d A B ; A ' B ' C D

  = d A ; A ' B ' C D = A H = 2 a 5 5 với H là hình chiếu của A trên .

Từ   1 A H 2 = 1 A A ' 2 + 1 A D 2 ⇒ 1 y 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (1)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng 2 a 5 5 .

Tương tự, ta chứng minh được

B C / / A B ' C ' D ⇒ d B C ; A B ' = d B C ; A B ' C ' D

= B K = 2 a 5 5

 với K là hình chiếu của B trên AB'.

Từ  1 B K 2 = 1 B A 2 + 1 B B ' 2 ⇒ 1 x 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2    (2)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là  a 3 3   .

Gọi   O = A C ∩ B D ⇒ O là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của   Δ B D D ' ⇒ O I / / B D ' ⇒ B D ' / / A C I

⇒ d B D ' ; A C = d B D ' ; A C I = d D ' ; A C I = d D ; A C I

Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:

1 d 2 D ; A C I = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 1 D I 2 = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 4 D D ' ⇒ 1 x 2 + 1 y 2 + 4 z 2 = 3 a 2

 (3)

Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: x = y = z , z = 2 a .

Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là V = x y z = a . a .2 a = 2 a 3  (đvtt).

Đáp án A

Giả sử AB = x

B ' ( 0 ; 0 ; 0 ) , A ' ( x ; 0 ; 0 ) , C ' ( 0 ; 4 a ; 0 ) , M ( x ; 2 a ; 2 a ) A ' B ' → ( x ; 0 ; 0 ) , C ' M → ( x ; − 2 a ; 2 a ) , B ' C ' → ( 0 ; 4 a ; 0 ) [ A ' B ' → , C ' M → ] = ( 0 ; − 2 a x ; − 2 a x ) d ( A ' B ' ; C ' M ) = [ A ' B ' → , C ' M → ] B ' C ' → [ A ' B ' → , C ' M → ] = − 8 a 2 x 8 a 2 x 2 = 2 2 a

Đáp án D.

Gọi P là trung điểm của C’D’ suy ra  d = d O ; M N P

Dựng:

O A ⊥ N P ;  OF ⊥ ME ⇒ d=OF= M O . N E M O 2 + N E 2

trong đó

M O = a ;   N E = a 2 4 ⇒ d = a 3 .