Question

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là 2 a 5 5 , khoảng cách giữa  BC và AB’ là 2 a 5 5 , khoảng cách giữa AC và BD’ là 2 a 3 3 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A.  4 a 3

B.  3 a 3

C. 5 a 3

D.  2 a 3

Answer 1

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A

Dễ thấy A B ⊥ ( B C C ' B ' )  nên A B ⊥ B E  

Lại có B E ⊥ B ' C  nên d A B , B ' C = B E = 2 a 5 5  

Tương tự có d B C , A B ' = B F = 2 a 5 5  

Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: 1 B E 2 = 1 B F 2  

  ⇔ B C = B A hay ABCD là hình vuông

Suy ra B D ⊥ A C . Lại có A C ⊥ D D '  nên A C ⊥ ( B D D ' )  

Gọi M = A C ∩ B D , O  là tâm hình hộp và H  là hình chiếu của M  lên BD '

Khi đó A C ⊥ M H  và M H ⊥ B D '  nên d A C , B D ' = M H = a 3 3  

Đặt BA=BC=x, BB'=y ta có:

Tam giác BB 'C vuông nên

 

Tam giác BMO vuông nên

 

Mà  M B = 1 2 B D = x 2 2 , M O = 1 2 D D ' = y 2

nên  

Từ (1) và (2) ta có:

 

Vậy thể tích khối hộp

V = B A . B C . B B ' = a . a . 2 a = 2 a 3

Chọn đáp án D.