a) Vì H là hình chiếu của M trên đường thẳng a, nên MH là khoảng cách từ M đến a và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến a, suy ra MK ≥ MH.

b) Vì H là hình chiếu của M trên (P) nên MH vuông góc với (P) do đó MH vuông góc với HK.

Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có MK ≥ MH.

tham khảo:

a) Vì M', N' tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) nên hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là a’ đường thẳng đi qua hai điểm M', N'.

b) b vuông góc với M'N' và b vuông góc với MM' (do M' là hình chiếu của M trên (P)); M'N' cắt MM' tại M' do đó b vuông góc mặt phẳng tạo bởi M'N', MM' suy ra b có vuông góc với a.

c) b vuông góc với a và b vuông góc với MM' (do M' là hình chiếu của M trên (P)); a cắt MM' tại M do đó b vuông góc mặt phẳng tạo bởi a, MM' suy ra b có vuông góc với M'N'.

Đáp án C.

Đáp án B.

Rõ ràng A và B đều nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng O x z  (do đều có tung độ dương). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua O x z  thì A ' = − 1 ; − 3 ; 4 . Ta có M A + M B = M A ' + M B  (do  M ∈ O x z    và A' là điểm đối xứng của A qua O x z ). Do đó   M A + M B ngắn nhất  ⇔ M A ' + M B    ngắn nhất ⇔ A ' , M , N  thằng hàng, tức M là giao điểm của A'B và O x z .

Ta có  A ' B → = 4 ; 4 ; − 4   . Suy ra phương trình đường thẳng  A ' B : x = 3 + t y = 1 + t z = − t   .

Phương trình mặt phẳng ( O x z )  là y=0. Giải phương trình  1 + t = 0 ⇔ t = − 1   .

Suy ra M = 2 ; 0 ; 1 . Do đó M có hoành độ bằng 2. Vậy B là đáp án đúng.

Đáp án B

Ta có \(\frac{MA}{MB}=k\Leftrightarrow MA^2=k^2MB^2\Leftrightarrow\overrightarrow{MA^2}=k^2\overrightarrow{MB^2}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}\right)=0\)

Gọi P, Q là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{MQ}=0\Leftrightarrow MP\perp MQ\)

Từ đó suy ra tập hợp tất cả các điểm M cần tìm là đường tròn đường kính PQ

* Với k=1,quỹ tích cần tìm là đường trung trực (tương ứng mặt phẳng trung trực, với bài toàn trong không gian) của đoạn thẳng AB

* Đường tròn tìm được trong bài trên được gọi là đường tròn Apolonius

* Với bài toàn ở trong không gian, tương tự như vậy, ta cũng thu được quỹ tích là mặt cầu đường kính PQ, và mặt cầu đó cũng được gọi là mặt cầu Apolpnius

Để ý rằng A ( 1;1 ), B ( 0;2 ), C ( m;-1 ) 

Khi đó A B → = - 1 ; 1 , B C → = m ; - 3 .

∆ A B C  vuông tại B ⇔ A B → . B C → = 0 ⇔ - m - 3 = 0 ⇔ m = - 3

Đáp án A