Giải

Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.

Xét hai ∆MAC và ∆MBD:

ˆAMC=ˆBMDAMC^=BMD^ (đối đỉnh)

ˆA=ˆDA^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BCBC⏜

Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g)

⇒MBMC=MDMA⇒MBMC=MDMA

⇒MA.MB=MC.MD⇒MA.MB=MC.MD            (1)

Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC.MD không đổi              (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.

Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét ∆MAD và ∆MCB:

ˆMM^ chung

ˆB=ˆDB^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ACAC⏜)

Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g)

⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD               (3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC. MD không đổi   (4)

Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

Vì cát tuyến MAB kẻ tùy ý nên ta luôn có  M T 2  = MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

minh ko biết

mình không biết đâu chỉ có thánh mới giải được

Xét \(\Delta\)MTA và \(\Delta\)MBT

có: góc M chung

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}\widebat{AT}\right)\)

=> \(\Delta\)MTA đồng dạng \(\Delta\)MBT

=> \(\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\left(ĐPCM\right)\)

do MT là tiếp tuyến mà M cố định nên => MT không đổi, do vậy MA.MB không đổi

1) Xét tứ giác MNOP có 

\(\widehat{ONM}\) và \(\widehat{OPM}\) là hai góc đối

\(\widehat{ONM}+\widehat{OPM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MNOP là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP là trung điểm của OM

hay O' là trung điểm của OM