\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)

Ta có:

\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)

\(ab-ac+bc-c^2=-1\)

<=> \(a\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)=-1\)

<=> \(\left(a+c\right)\left(b-c\right)=-1\)

Mà \(a,b,c\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c\in Z\\b-c\in Z\end{matrix}\right.\)

- Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=1\\b-c=-1\end{matrix}\right.\) => a + b = 0

- Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=-1\\b-c=1\end{matrix}\right.\) => a + b = 0

Vậy M = 0

Ta có: B E = A E - A B = a + b + c 2 - c = a + b - c 2

Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BE = BD; CD = CF

AE = AB + BE

AF = AC + CF

Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF

= AB + AC + (BD + DC)

= AB + AC + BC = c + b + a

Mà: AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra:  A E = A F = a + b + c 2