- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)

- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\) 

- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:

\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)

\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)

\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)

\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)

\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)

Mặt khác:

\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)

\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)

Do đó:

\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)

help mình vs plz

.....

\(5^{n+2}+3^{n+2}-3^n-5^n=5^n\left(5^2-1\right)+3^n\left(3^2-1\right)=5^n.24+3^n.8\)

Ta có \(5^n.24⋮24\) và \(3^n.8⋮3.8=24\)

Vậy ta đc đpcm

5n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.85n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.8

Ta có 5n.24⋮245n.24⋮24 và 3n.8⋮3.8=24 vây ta CM đc cái trên

\(B=n^2+n+3\)
\(=n.n+n+3\)
\(=n\left(n+1\right)+3\)
Mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) với mọi \(n\in Z\)
\(\Rightarrow B⋮̸2\)

a/ Với n=0 ta có 2.1+1=3 chia hết cho 3

Giả sử \(2.7^n+1\)  đúng với n=k => \(2.7^k+1\) chia hết cho 3

Ta cần chứng minh \(2.7^{k+1}+1\) cũng chia hết cho 3

Thật vậy ta có

\(2.7^{k+1}+1=2.7.7^k+7-6=7\left(2.7^k+1\right)-6\)

Ta thấy \(2.7^k+1\) chia hết cho 3 và 6 chia hết cho 3 nên \(2.7^{k+1}+1\) chia hết cho 3

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n ta có 2.7^n+1 chia hết cho 3

b/

Ta có: 2*7^n là số chẵn -> (2*7^n)+1 chia hết cho 2+1=3

n³ - 13n

= n³ - n - 12n

= n(n² - 1) - 12n

= n(n - 1)(n + 1) - 12n

n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 (tích của 3 số nguyên liên tiếp)

- 12n chia hết cho 6

Vậy n³ - 13n chia hết cho 6 (đpcm)

n^3 - 13n = n^3 - n -12n= n(n^2-1) - 6.2n= n(n-1)(n+1) - 6.2n 
Ta có n(n-1)(n=1) là tích 3 số nguyên ( hoặc tự nhiên j cug dc) nên chia hết cho 2, 3. Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau.

Vậy n(n-1)(n+1) chia hết cho 2x3=6; Do đó n^3-13n= n(n-1)(n=1) -6.2n chia hết cho 6

\(n^3-13n\\ =n^3-n-12n\\ =\left(n^3-n\right)-12n\\ =n\left(n^2-1\right)-12n⋮6\)

Ta co : \(n^3+5n=n^3-n+6n=n\left(n^2-1\right)+6n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n\)

Vi n la so nguyen duong nen suy ra : Tich cua ba so nguyen duong lien tiep : 

\(n-1,n,n+1\) chia het cho 2 va 3

\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia het cho 6 

\(\Rightarrow n^3+5n\) chia het cho 6 (dpcm)

**** nhe

\(a,n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)